Cho các số thực $x, y, a, b$ thỏa mãn điều kiện: $\left\{...

+/ Ta có
$\begin{aligned}
& {{\log }_{2}}\left( 3{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}+2 \right)=1+{{\log }_{2}}\left( 9y-3x-8 \right) \\
& \Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}+2=18y-6x-16 \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-6y+6=0\left( 1 \right) \\
\end{aligned}$
Suy ra tập hợp các điểm $M\left( x;y \right)$ thỏa mãn $\left( 1 \right)$ là đường tròn tâm $I\left( -1;3 \right)$, bán kính $R=2$.
+/ Xét phương trình: ${{2}^{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2-2ab}}={{\log }_{2}}\left[ 16-{{\left( a-b \right)}^{2}} \right]\left( 2 \right)$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2-2ab}}={{2}^{{{\left( a-b \right)}^{2}}+2}}\ge 4 \\
& {{\log }_{2}}\left[ 16-{{\left( a-b \right)}^{2}} \right]\le 4 \\
\end{aligned} \right.$
Nên $\left( 2 \right)\Leftrightarrow a-b=0$.
Suy ra tập hợp các điểm $N\left( a;b \right)$ thỏa mãn $\left( 2 \right)$ là đường thẳng $\Delta :x-y=0$.
+/ Ta có $P=\sqrt{{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}}=MN\ge IN-IM\ge IH-R$ với $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $\Delta $.
Vậy $\min P=IH-R=d\left( I,\Delta \right)-R=2\sqrt{2}-2$.