Google
Câu hỏi: Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn ${{x}^{2}}+\dfrac{x}{x+1}=(y+2)\sqrt{(x+1)(y+1)}$. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| -{{x}^{2}}+x+4+\sqrt{4-{{x}^{2}}}-\sqrt{(x+1)(y+1)}+a \right|$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $a\in \left[ -10;10 \right]$ để $M\le 2m$ ?
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
Ta có ${{x}^{2}}+\dfrac{x}{x+1}=(y+2)\sqrt{(x+1)(y+1)}\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{3}}+x(x+1)}{(x+1)\sqrt{x+1}}=(y+2)\sqrt{y+1}$
$\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{x}{\sqrt{x+1}} \right)}^{3}}+\dfrac{x}{\sqrt{x+1}}={{\left( \sqrt{y+1} \right)}^{3}}+\sqrt{y+1}$ (1)
Xét hàm số $f(t)={{t}^{3}}+t,t\in \mathbb{R},{f}'(t)=3{{t}^{2}}+1\ge 0\Rightarrow f(t)$ đồng biến trên ℝ.
Phương trình (1) trở thành $f\left( \dfrac{x}{\sqrt{x+1}} \right)=f\left( \sqrt{y+1} \right)\Leftrightarrow x=\sqrt{(x+1)(y+1)}$
Khi đó $P=\left| 4-{{x}^{2}}+\sqrt{4-{{x}^{2}}}+a \right|$.
Đặt $t=\sqrt{4-{{x}^{2}}}$, điều kiện: $t\in \left[ 0;2 \right]$.
Xét $f(t)={{t}^{2}}+t+a\Rightarrow a\le f(t)\le a+6,P=\left| f(t) \right|$
* Nếu $a>0$ thì $M=a+6;m=a$
$M\le 2m\Leftrightarrow a+6\le 2\text{a}\Leftrightarrow a\ge 6\Rightarrow a\in \left\{ 6;7;8;9;10 \right\}$ (do $a\in \mathbb{Z},a\in \left[ -10;10 \right]$ ).
* Nếu $a+6<0$ thì $M=-a;m=-(a+6)$
$M\le 2m\Leftrightarrow -a\le -2(a+6)\Leftrightarrow a\le -12$ (loại).
* Nếu $a\le 0\le a+6$ thì $m=0,M>0$ không thỏa mãn điều kiện $M\le 2m$.
Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện.
$\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{x}{\sqrt{x+1}} \right)}^{3}}+\dfrac{x}{\sqrt{x+1}}={{\left( \sqrt{y+1} \right)}^{3}}+\sqrt{y+1}$ (1)
Xét hàm số $f(t)={{t}^{3}}+t,t\in \mathbb{R},{f}'(t)=3{{t}^{2}}+1\ge 0\Rightarrow f(t)$ đồng biến trên ℝ.
Phương trình (1) trở thành $f\left( \dfrac{x}{\sqrt{x+1}} \right)=f\left( \sqrt{y+1} \right)\Leftrightarrow x=\sqrt{(x+1)(y+1)}$
Khi đó $P=\left| 4-{{x}^{2}}+\sqrt{4-{{x}^{2}}}+a \right|$.
Đặt $t=\sqrt{4-{{x}^{2}}}$, điều kiện: $t\in \left[ 0;2 \right]$.
Xét $f(t)={{t}^{2}}+t+a\Rightarrow a\le f(t)\le a+6,P=\left| f(t) \right|$
* Nếu $a>0$ thì $M=a+6;m=a$
$M\le 2m\Leftrightarrow a+6\le 2\text{a}\Leftrightarrow a\ge 6\Rightarrow a\in \left\{ 6;7;8;9;10 \right\}$ (do $a\in \mathbb{Z},a\in \left[ -10;10 \right]$ ).
* Nếu $a+6<0$ thì $M=-a;m=-(a+6)$
$M\le 2m\Leftrightarrow -a\le -2(a+6)\Leftrightarrow a\le -12$ (loại).
* Nếu $a\le 0\le a+6$ thì $m=0,M>0$ không thỏa mãn điều kiện $M\le 2m$.
Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện.
Đáp án A.