Cho các số thực dương x, y thỏa mãn $2^{x^{2}+y^{2}-1}+\log...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn

2^{x^{2} + y^{2} - 1} + \log_{3} (x^{2} + y^{2} + 1) = 3

. Biết giá trị lớn nhất của biểu thức

S = | x - y | + | x^{3} - y^{3} | l \overset{`}{a} \frac{a \sqrt{6}}{b}

với a, b là các số nguyên dương và phân số

\frac{a}{b}

tối giản. Tính giá trị biểu thức

T = 2 a + b

.
A.

T = 25.

B.

T = 34.

C.

T = 32.

D.

T = 41.

Nhận xét hàm số

f (t) = 2^{t - 1} + \log_{3} (t + 1)

đồng biến và

f (2) = 3

, từ đó

2^{x^{2} + y^{2} - 1} + \log_{3} (x^{2} + y^{2} + 1) = 3 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 2

S = | x - y | + | x^{3} - y^{3} | = | x - y | (1 + x^{2} + y^{2} + x y)

\Leftrightarrow S^{2} = {(x - y)}^{2} {(3 + x y)}^{2} = (2 - 2 x y) {(3 + x y)}^{2}

.
Đặt

t = x y

do

| x y | \leq \frac{x^{2} + y^{2}}{2} = 1

nên

t \in [- 1; 1]

.
Xét hàm số

g (t) = (2 - 2 t) (3 + t)^{2}

trên

[- 1; 1]

được

max_{_{t \in [- 1; 1]}} g (t) = g (- \frac{1}{3}) = \frac{512}{27}

.
Do

S > 0

nên

S^{2} \leq \frac{512}{27} \Leftrightarrow S \leq \frac{16 \sqrt{6}}{9}

.
Vậy

T = 34

.

Đáp án B.