Google
Câu hỏi: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn $2^{x^{2}+y^{2}-1}+\log _{3}\left(x^{2}+y^{2}+1\right)=3$. Biết giá trị lớn nhất của biểu thức $S=\left| x-y \right|+\left| {{x}^{3}}-{{y}^{3}} \right|\text{ l }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\dfrac{a\sqrt{6}}{b}$ với a, b là các số nguyên dương và phân số $\dfrac{a}{b}$ tối giản. Tính giá trị biểu thức $T=2a+b$.
A. $T=25.$
B. $T=34.$
C. $T=32.$
D. $T=41.$
A. $T=25.$
B. $T=34.$
C. $T=32.$
D. $T=41.$
Nhận xét hàm số $\text { } f(t)=2^{t-1}+\log _{3}(t+1) \text { }$ đồng biến và $f(2)=3$, từ đó
${{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-1}}+{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)=3\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2$
$S=\left| x-y \right|+\left| {{x}^{3}}-{{y}^{3}} \right|=\left| x-y \right|\left( 1+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy \right)$
$\Leftrightarrow {{S}^{2}}={{(x-y)}^{2}}{{(3+xy)}^{2}}=(2-2xy){{(3+xy)}^{2}}$.
Đặt $t=x y$ do $\left| xy \right|\le \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2}=1$ nên $t \in[-1 ; 1]$.
Xét hàm số $g(t)=(2-2 t)(3+t)^{2}$ trên $[-1 ; 1]$ được $\underset{_{t\in \left[ -1;1 \right]}}{\mathop{\max }} g(t)=g\left( -\dfrac{1}{3} \right)=\dfrac{512}{27}$.
Do $S>0$ nên $S^{2} \leq \dfrac{512}{27} \Leftrightarrow S \leq \dfrac{16 \sqrt{6}}{9}$.
Vậy $T=34$.
${{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-1}}+{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)=3\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2$
$S=\left| x-y \right|+\left| {{x}^{3}}-{{y}^{3}} \right|=\left| x-y \right|\left( 1+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy \right)$
$\Leftrightarrow {{S}^{2}}={{(x-y)}^{2}}{{(3+xy)}^{2}}=(2-2xy){{(3+xy)}^{2}}$.
Đặt $t=x y$ do $\left| xy \right|\le \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2}=1$ nên $t \in[-1 ; 1]$.
Xét hàm số $g(t)=(2-2 t)(3+t)^{2}$ trên $[-1 ; 1]$ được $\underset{_{t\in \left[ -1;1 \right]}}{\mathop{\max }} g(t)=g\left( -\dfrac{1}{3} \right)=\dfrac{512}{27}$.
Do $S>0$ nên $S^{2} \leq \dfrac{512}{27} \Leftrightarrow S \leq \dfrac{16 \sqrt{6}}{9}$.
Vậy $T=34$.
Đáp án B.