Cho các số thực dương $a,b,x,y$ thỏa mãn $a>1,b>1$ và ${{a}^{x-1}}={{b}^{y}}=\sqrt[3]{ab}.$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=3x+4y$ thuộc tập hợp...

Ta có ${{a}^{x-1}}={{b}^{y}}=\sqrt[3]{ab}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1+\dfrac{1}{3}{{\log }_{a}}ab=\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{3}{{\log }_{a}}b \\
& y=\dfrac{1}{3}{{\log }_{b}}ab=\dfrac{1}{3}\left( 1+{{\log }_{b}}a \right)=\dfrac{1}{3}\left( 1+\dfrac{1}{{{\log }_{a}}b} \right) \\
\end{aligned} \right..$
Thay vào $P,$ ta được
$P=3x+4y=3\left( \dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{3}{{\log }_{a}}b \right)+4.\dfrac{1}{3}\left( 1+\dfrac{1}{{{\log }_{a}}b} \right)$
$=\dfrac{16}{3}+\left( {{\log }_{a}}b+\dfrac{4}{3{{\log }_{a}}b} \right)$
Vì $a>1,b>1$ nên ${{\log }_{a}}b>0.$ Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:
$P=\dfrac{16}{3}+\left( {{\log }_{a}}b+\dfrac{4}{3{{\log }_{a}}b} \right)\ge \dfrac{16}{3}+2\sqrt{{{\log }_{a}}b.\dfrac{4}{3{{\log }_{a}}b}}=\dfrac{16+4\sqrt{3}}{3}.$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ${{\log }_{a}}b=\dfrac{4}{3}{{\log }_{a}}b\Leftrightarrow {{\log }_{a}}b=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $\dfrac{16+4\sqrt{3}}{3}\in \left( 7;9 \right].$