Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $5\log _{2}^{2}a+16\log...

The Professor · 15/12/21

Câu hỏi: Cho các số thực dương

a, b, c

thỏa mãn

5 \log_{2}^{2} a + 16 \log_{2}^{2} b + 27 \log_{2}^{2} c = 1

. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức

S = \log_{2} a \log_{2} b + \log_{2} b \log_{2} c + \log_{2} c \log_{2} a

.
A.

\frac{1}{16}

.
B.

\frac{1}{12}

.
C.

\frac{1}{9}

.
D.

\frac{1}{8}

.

Đặt

x = \log_{2} a, y = \log_{2} b, z = \log_{2} c

, ta có

5 x^{2} + 16 y^{2} + 27 z^{2} = 1

và

S = x y + y z + z x

.
Sử dụng bất đẳng thức Côsi dạng phân thức ta có:

11 x^{2} + 22 y^{2} + 33 z^{2} \geq \frac{{(x + y + z)}^{2}}{\frac{1}{11} + \frac{1}{22} + \frac{1}{33}} = 6 {(x + y + z)}^{2}

\Rightarrow 5 x^{2} + 16 y^{2} + 27 z^{2} \geq 12 (x y + y z + z x) \Rightarrow S \leq \frac{1}{12}

.

Đáp án B.

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $5\log _{2}^{2}a+16\log...