Google
Câu hỏi: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $5\log _{2}^{2}a+16\log _{2}^{2}b+27\log _{2}^{2}c=1$. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức $S={{\log }_{2}}a{{\log }_{2}}b+{{\log }_{2}}b{{\log }_{2}}c+{{\log }_{2}}c{{\log }_{2}}a$.
A. $\dfrac{1}{16}$.
B. $\dfrac{1}{12}$.
C. $\dfrac{1}{9}$.
D. $\dfrac{1}{8}$.
A. $\dfrac{1}{16}$.
B. $\dfrac{1}{12}$.
C. $\dfrac{1}{9}$.
D. $\dfrac{1}{8}$.
Đặt $x={{\log }_{2}}a,y={{\log }_{2}}b,z={{\log }_{2}}c$, ta có $5{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}+27{{z}^{2}}=1$ và $S=xy+yz+zx$.
Sử dụng bất đẳng thức Côsi dạng phân thức ta có:
$11{{x}^{2}}+22{{y}^{2}}+33{{z}^{2}}\ge \dfrac{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}}{\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{22}+\dfrac{1}{33}}=6{{\left( x+y+z \right)}^{2}}$
$\Rightarrow 5{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}+27{{z}^{2}}\ge 12\left( xy+yz+zx \right)\Rightarrow S\le \dfrac{1}{12}$.
Sử dụng bất đẳng thức Côsi dạng phân thức ta có:
$11{{x}^{2}}+22{{y}^{2}}+33{{z}^{2}}\ge \dfrac{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}}{\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{22}+\dfrac{1}{33}}=6{{\left( x+y+z \right)}^{2}}$
$\Rightarrow 5{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}+27{{z}^{2}}\ge 12\left( xy+yz+zx \right)\Rightarrow S\le \dfrac{1}{12}$.
Đáp án B.