Cho các số thực ${{b ; c}}$ trái dấu sao cho phương trình ${{z^2+b...

TH1: ${{z}_{1}},{{z}_{2}}\in \mathbb{R}\Rightarrow \left| {{z}_{1}}+2-5i \right|=\sqrt{{{\left( {{z}_{1}}+2 \right)}^{2}}+25}>\sqrt{17}$ (mâu thuẫn)
TH2: ${{z}_{1}},{{z}_{2}}\in \mathbb{C}\backslash \mathbb{R}$. Vì ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là nghiệm của phương trình ${{z^2+b z+c=0}}$
nên đặt $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=x+yi \\
& {{z}_{2}}=x-yi \\
\end{aligned} \right. $, ta được $ \left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=2x=-b \\
& {{z}_{1}}\cdot {{z}_{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}=c \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: $\left| {{z}_{1}}+2-5i \right|=\sqrt{17}\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}=17$
Lại có: $\left( {{z}_{1}}-2 \right)\left( {{z}_{2}}+4i \right)={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4ix-4y-2x+2yi-8i=\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-4y \right)+\left( 4x+2y-8 \right)i$
Mà $\left( {{z}_{1}}-2 \right)\left( {{z}_{2}}+4i \right)$ là số thuần ảo nên ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-4y=0$
$\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}=17 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-4y=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& y=1 \\
\end{aligned} \right.\vee \left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=4 \\
\end{aligned} \right.$.
Với $x=-1,y=1$ : $b=2;c=2$ không thoả điều kiện $b.c<0$ $\Rightarrow $ Loại.
Với $x=2,y=4$ : $b=-4;c=20$ thoả điều kiện $b.c<0$.
Vậy $b+c=16$.