Google
Câu hỏi: Cho các số thực $b, c$ sao cho phương trình ${{z}^{2}}+bz+c=0$ có hai nghiệm phức ${{z}_{1}}; {{z}_{2}} $ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-3+3i \right|=\sqrt{2}$ và $\left( {{z}_{1}} +2i \right)\left( {{z}_{2}} -2 \right)$ là số thuần ảo. Khi đó $b+c$ bằng:
A. $-1$.
B. $12$.
C. $4$.
D. $-12$.
A. $-1$.
B. $12$.
C. $4$.
D. $-12$.
Trường hợp 1: Nếu các nghiệm của phương trình là các số thực $x; y$ thì
$\left| {{z}_{1}}-3+3i \right|=\left| \left( x-3 \right)+3i \right|$ $=\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+9 }>\sqrt{2}$ mâu thuẫn với giả thiết.
Trường hợp 2: Các nghiệm phức của phương trình không là các số thực, khi đó với
${{z}_{1}}=x+yi \Rightarrow {{z}_{2}}=\overline{{{z}_{1}}}=x-yi$.
Khi đó: $\left| {{z}_{1}}-3+3i \right|=\sqrt{2} \Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=2 \left( 1 \right)$.
Và:
$\left( {{z}_{1}} +2i \right)\left( {{z}_{2}} -2 \right)=\left[ x+\left( y+2 \right)i \right].\left[ \left( x-2 \right)-yi \right]$ $=x.\left( x-2 \right)+y.\left( y+2 \right)+\left[ \left( x-2 \right).\left( y+2 \right)-xy \right].i$ là một số thuần ảo khi và chỉ khi phần thực bằng $0$ tức là:
$x.\left( x-2 \right)+y.\left( y+2 \right)=0 \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y=0 \left( 2 \right)$.
Giải hệ gồm $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ : $\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=2 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y=x-4 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y=x-4 \\
& 2{{x}^{2}}-8x+8=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=-2 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow {{z}_{1}}=2-2i; {{z}_{2}}=2+2i$.
Vì vậy theo Vi-et ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+ {{z}_{2}}=-b=\left( 2-2i \right)+\left( 2+2i \right)=4 \\
& {{z}_{1}}. {{z}_{2}}=c=\left( 2-2i \right).\left( 2+2i \right)=8 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow b+c=-4+8=4$.
$\left| {{z}_{1}}-3+3i \right|=\left| \left( x-3 \right)+3i \right|$ $=\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+9 }>\sqrt{2}$ mâu thuẫn với giả thiết.
Trường hợp 2: Các nghiệm phức của phương trình không là các số thực, khi đó với
${{z}_{1}}=x+yi \Rightarrow {{z}_{2}}=\overline{{{z}_{1}}}=x-yi$.
Khi đó: $\left| {{z}_{1}}-3+3i \right|=\sqrt{2} \Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=2 \left( 1 \right)$.
Và:
$\left( {{z}_{1}} +2i \right)\left( {{z}_{2}} -2 \right)=\left[ x+\left( y+2 \right)i \right].\left[ \left( x-2 \right)-yi \right]$ $=x.\left( x-2 \right)+y.\left( y+2 \right)+\left[ \left( x-2 \right).\left( y+2 \right)-xy \right].i$ là một số thuần ảo khi và chỉ khi phần thực bằng $0$ tức là:
$x.\left( x-2 \right)+y.\left( y+2 \right)=0 \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y=0 \left( 2 \right)$.
Giải hệ gồm $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ : $\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=2 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y=x-4 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y=x-4 \\
& 2{{x}^{2}}-8x+8=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=-2 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow {{z}_{1}}=2-2i; {{z}_{2}}=2+2i$.
Vì vậy theo Vi-et ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+ {{z}_{2}}=-b=\left( 2-2i \right)+\left( 2+2i \right)=4 \\
& {{z}_{1}}. {{z}_{2}}=c=\left( 2-2i \right).\left( 2+2i \right)=8 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow b+c=-4+8=4$.
Đáp án C.