Cho các số thực $b,c$ sao cho phương trình $z^2+bz+c=0$ có...

Trường hợp 1: Nếu các nghiệm của phương trình là các số thực $x;y$ thì
$|z_1-3+3i|=|(x-3)+3i|$ $=\sqrt{{(x-3)}^2+9}>\sqrt{2}$ mâu thuẫn với giả thiết.
Trường hợp 2: Các nghiệm phức của phương trình không là các số thực, khi đó với
$z_1=x+yi\Rightarrow z_2=\overline{z_1}=x-yi$.
Khi đó: $|z_1-3+3i|=\sqrt{2}\iff {(x-3)}^2+{(y+3)}^2=2\left(1\right)$.
Và:
$(z_1+2i)(z_2-2)=[x+(y+2)i].[(x-2)-yi]$ $=x.(x-2)+y.(y+2)+[(x-2).(y+2)-xy].i$ là một số thuần ảo khi và chỉ khi phần thực bằng $0$ tức là:
$x.(x-2)+y.(y+2)=0\iff x^2+y^2-2x+2y=0\left(2\right)$.
Giải hệ gồm $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ : $\{\begin{array}{rl}& {(x-3)}^2+{(y+3)}^2=2\\ & x^2+y^2-2x+2y=0\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{rl}& y=x-4\\ & x^2+y^2-2x+2y=0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{rl}& y=x-4\\ & 2x^2-8x+8=0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{rl}& x=2\\ & y=-2\end{array}$$\Rightarrow z_1=2-2i;z_2=2+2i$.
Vì vậy theo Vi-et ta có: $\{\begin{array}{rl}& z_1+z_2=-b=(2-2i)+(2+2i)=4\\ & z_1.z_2=c=(2-2i).(2+2i)=8\end{array}$ $\Rightarrow b+c=-4+8=4$.