Google
Câu hỏi: Cho các số thực $b,c$ sao cho phương trình ${{z}^{2}}+bz+c=0$ có hai nghiệm phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-4+3i \right|=1$ và $\left| {{z}_{2}}-8-6i \right|=4.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $5b+c=4$
B. $5b+c=-12$
C. $5b+6c=12$
D. $5b+c=-4$
A. $5b+c=4$
B. $5b+c=-12$
C. $5b+6c=12$
D. $5b+c=-4$
Phương pháp:
- Phương trình bậc hai với hệ số thực có 2 nghiệm phức thì chúng là số phức liên hợp của nhau.
- Sử dụng $\overline{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}=\overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}}$.
- Sử dụng phương pháp hình học tìm số phức ${{z}_{1}}.$
- Áp dụng định lí Vi-ét để tìm $b,c.$
Cách giải:
Vì ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}+bz+c=0$ nên ${{z}_{2}}=\overline{{{z}_{1}}}.$
Khi đó ta có $\left| {{z}_{2}}-8-6i \right|=4\Leftrightarrow \left| \overline{{{z}_{1}}}-8-6i \right|=4\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}}-8+6i \right|=4.$
Gọi $M$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}.$
$\Rightarrow M$ vừa thuộc đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ tâm ${{I}_{1}}\left( 4;-3 \right),$ bán kính ${{R}_{1}}=1$ và đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ tâm ${{I}_{2}}\left( 8;-6 \right),$ bán kính ${{R}_{2}}=4.$
$\Rightarrow m\in \left( {{C}_{1}} \right)\cap \left( {{C}_{2}} \right).$
Ta có ${{I}_{1}}{{I}_{2}}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}=5={{R}_{1}}+{{R}_{2}}\Rightarrow \left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ tiếp xúc ngoài.
Do đó có duy nhất 1 điểm $M$ thỏa mãn, tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-8x+6y+24=0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-16x+12y+84=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{24}{5} \\
& y=-\dfrac{18}{5} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M\left( \dfrac{24}{5};-\dfrac{18}{5} \right)\Rightarrow {{z}_{1}}=\dfrac{24}{5}-\dfrac{18}{5}i $ là nghiệm của phương trình $ {{z}^{2}}+bz+c=0$
$\Rightarrow {{z}_{2}}=\dfrac{24}{5}+\dfrac{18}{5}i$ cũng là nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}+bz+c=0.$
Áp dụng đinh lí Vi-ét ta có ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-b=\dfrac{48}{5}\Rightarrow b=-\dfrac{48}{5},{{z}_{1}}{{z}_{2}}=c=36.$
Vậy $5b+c=-48+36=-12.$
- Phương trình bậc hai với hệ số thực có 2 nghiệm phức thì chúng là số phức liên hợp của nhau.
- Sử dụng $\overline{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}=\overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}}$.
- Sử dụng phương pháp hình học tìm số phức ${{z}_{1}}.$
- Áp dụng định lí Vi-ét để tìm $b,c.$
Cách giải:
Vì ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}+bz+c=0$ nên ${{z}_{2}}=\overline{{{z}_{1}}}.$
Khi đó ta có $\left| {{z}_{2}}-8-6i \right|=4\Leftrightarrow \left| \overline{{{z}_{1}}}-8-6i \right|=4\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}}-8+6i \right|=4.$
Gọi $M$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}.$
$\Rightarrow M$ vừa thuộc đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ tâm ${{I}_{1}}\left( 4;-3 \right),$ bán kính ${{R}_{1}}=1$ và đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ tâm ${{I}_{2}}\left( 8;-6 \right),$ bán kính ${{R}_{2}}=4.$
$\Rightarrow m\in \left( {{C}_{1}} \right)\cap \left( {{C}_{2}} \right).$
Ta có ${{I}_{1}}{{I}_{2}}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}=5={{R}_{1}}+{{R}_{2}}\Rightarrow \left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ tiếp xúc ngoài.
Do đó có duy nhất 1 điểm $M$ thỏa mãn, tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-8x+6y+24=0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-16x+12y+84=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{24}{5} \\
& y=-\dfrac{18}{5} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M\left( \dfrac{24}{5};-\dfrac{18}{5} \right)\Rightarrow {{z}_{1}}=\dfrac{24}{5}-\dfrac{18}{5}i $ là nghiệm của phương trình $ {{z}^{2}}+bz+c=0$
$\Rightarrow {{z}_{2}}=\dfrac{24}{5}+\dfrac{18}{5}i$ cũng là nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}+bz+c=0.$
Áp dụng đinh lí Vi-ét ta có ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-b=\dfrac{48}{5}\Rightarrow b=-\dfrac{48}{5},{{z}_{1}}{{z}_{2}}=c=36.$
Vậy $5b+c=-48+36=-12.$
Đáp án B.