Cho các số thực a, b thỏa mãn ${{\log }_{2}}\left( 2020-2{{b}^{2}}...

ĐKXĐ: $2020-2b^2>0\iff b^2<1010\iff -\sqrt{1010}<b<\sqrt{1010}$
+ Theo đề bài ra, ta có:
${\log }_2(2020-2b^2)-2b^2={\log }_2(a^2+b^2+1009)+a^2$
$\iff 1+{\log }_2(1010-b^2)-2b^2={\log }_2(a^2+b^2+1009)+a^2$
$\iff {\log }_2(1010-b^2)+1010-b^2={\log }_2(a^2+b^2+1009)+a^2+b^2+1009\left(1\right)$
Xét hàm số sau: $f\left(t\right)={\log }_{2}t+t(t>0)$
Ta thấy: $f^{\prime }\left(t\right)={\displaystyle \frac{1}{t.\ln 2}}+1>0,$ suy ra hàm số $f\left(t\right)={\log }_{2}t+t$ đồng biến trên $(0;+\mathrm{\infty })$
Do đó:
$\left(1\right)\iff 1010-b^2=a^2+b^2+1009$
$\iff a^2+2b^2=1$
+ Khi đó: $P=a^3+a^{2}b+2a{b}^2+2b^3+1=(a+b)(a^2+2b^2)+1=a+b+1$
Áp dụng định lí Bunhiacopski cho bộ hai số $\{a;\sqrt{2}b\}$ và $\{1;{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\},$ ta có:
${(a+b)}^2\le (a^2+2b^2)(1+{\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{3}{2}}$ (Dấu "=" xảy ra khi $a=2b$ )
$\Rightarrow -\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}\le a+b\le \sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}$
Do đó: $P=a+b+1\le \sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}+1\in (2;3)$
Suy ra: $MinP=\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}+1\in (2;3)$ khi $a={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}},b={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}.$