Google
Câu hỏi: Cho các số thực a, b thỏa mãn ${{\log }_{2}}\left( 2020-2{{b}^{2}} \right)-2{{b}^{2}}={{\log }_{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1009 \right)+{{a}^{2}}$.
Giá trị lớn nhất của biểu thức $P={{a}^{3}}+{{a}^{2}}b+2a{{b}^{2}}+2{{b}^{3}}+1$ thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. $\left( 0;1 \right).$
B. $\left( 1;2 \right).$
C. $\left( 2;3 \right).$
D. $\left( 3;4 \right).$
Giá trị lớn nhất của biểu thức $P={{a}^{3}}+{{a}^{2}}b+2a{{b}^{2}}+2{{b}^{3}}+1$ thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. $\left( 0;1 \right).$
B. $\left( 1;2 \right).$
C. $\left( 2;3 \right).$
D. $\left( 3;4 \right).$
ĐKXĐ: $2020-2{{b}^{2}}>0\Leftrightarrow {{b}^{2}}<1010\Leftrightarrow -\sqrt{1010}<b<\sqrt{1010}$
+ Theo đề bài ra, ta có:
${{\log }_{2}}\left( 2020-2{{b}^{2}} \right)-2{{b}^{2}}={{\log }_{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1009 \right)+{{a}^{2}}$
$\Leftrightarrow 1+{{\log }_{2}}\left( 1010-{{b}^{2}} \right)-2{{b}^{2}}={{\log }_{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1009 \right)+{{a}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 1010-{{b}^{2}} \right)+1010-{{b}^{2}}={{\log }_{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1009 \right)+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1009 \left( 1 \right)$
Xét hàm số sau: $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t \left( t>0 \right)$
Ta thấy: ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t.\ln 2}+1>0,$ suy ra hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$
Do đó:
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow 1010-{{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1009$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2{{b}^{2}}=1$
+ Khi đó: $P={{a}^{3}}+{{a}^{2}}b+2a{{b}^{2}}+2{{b}^{3}}+1=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}+2{{b}^{2}} \right)+1=a+b+1$
Áp dụng định lí Bunhiacopski cho bộ hai số $\left\{ a;\sqrt{2}b \right\}$ và $\left\{ 1;\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right\},$ ta có:
${{\left( a+b \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+2{{b}^{2}} \right)\left( 1+\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{3}{2}$ (Dấu "=" xảy ra khi $a=2b$ )
$\Rightarrow -\sqrt{\dfrac{3}{2}}\le a+b\le \sqrt{\dfrac{3}{2}}$
Do đó: $P=a+b+1\le \sqrt{\dfrac{3}{2}}+1\in \left( 2;3 \right)$
Suy ra: $MinP=\sqrt{\dfrac{3}{2}}+1\in \left( 2;3 \right)$ khi $a=\dfrac{\sqrt{6}}{3},b=\dfrac{\sqrt{6}}{6}.$
+ Theo đề bài ra, ta có:
${{\log }_{2}}\left( 2020-2{{b}^{2}} \right)-2{{b}^{2}}={{\log }_{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1009 \right)+{{a}^{2}}$
$\Leftrightarrow 1+{{\log }_{2}}\left( 1010-{{b}^{2}} \right)-2{{b}^{2}}={{\log }_{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1009 \right)+{{a}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 1010-{{b}^{2}} \right)+1010-{{b}^{2}}={{\log }_{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1009 \right)+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1009 \left( 1 \right)$
Xét hàm số sau: $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t \left( t>0 \right)$
Ta thấy: ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t.\ln 2}+1>0,$ suy ra hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$
Do đó:
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow 1010-{{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1009$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2{{b}^{2}}=1$
+ Khi đó: $P={{a}^{3}}+{{a}^{2}}b+2a{{b}^{2}}+2{{b}^{3}}+1=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}+2{{b}^{2}} \right)+1=a+b+1$
Áp dụng định lí Bunhiacopski cho bộ hai số $\left\{ a;\sqrt{2}b \right\}$ và $\left\{ 1;\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right\},$ ta có:
${{\left( a+b \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+2{{b}^{2}} \right)\left( 1+\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{3}{2}$ (Dấu "=" xảy ra khi $a=2b$ )
$\Rightarrow -\sqrt{\dfrac{3}{2}}\le a+b\le \sqrt{\dfrac{3}{2}}$
Do đó: $P=a+b+1\le \sqrt{\dfrac{3}{2}}+1\in \left( 2;3 \right)$
Suy ra: $MinP=\sqrt{\dfrac{3}{2}}+1\in \left( 2;3 \right)$ khi $a=\dfrac{\sqrt{6}}{3},b=\dfrac{\sqrt{6}}{6}.$
Đáp án A.