Google
Câu hỏi: Cho các số thực a, b sao cho $0<a,b\ne 1$, biết rằng đồ thị các hàm số $y={{a}^{x}}$ và $y={{\log }_{b}}x$ cắt nhau tại điểm $M(\sqrt{2018};\sqrt[5]{{{2019}^{-1}}})$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $a>1,b>1$
B. $a>1,0<b<1$
C. $0<a<1,b>1$
D. $0<a<1,0<b<1$
A. $a>1,b>1$
B. $a>1,0<b<1$
C. $0<a<1,b>1$
D. $0<a<1,0<b<1$
Cách 1: Vì đồ thị các hàm số $y={{a}^{x}}$ và $y={{\log }_{b}}x$ cắt nhau tại điểm $M\left( \sqrt{2018};\sqrt[5]{{{2019}^{-1}}} \right)$, nên ta có hệ:
$\left\{ \begin{aligned}
& \sqrt[5]{{{2019}^{-1}}}={{a}^{\sqrt{2018}}} \\
& \sqrt[5]{{{2019}^{-1}}}={{\log }_{b}}\sqrt{2018} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a={{\left( \sqrt[5]{{{2019}^{-1}}} \right)}^{\sqrt{{{2018}^{-1}}}}} \\
& {{b}^{\sqrt[5]{{{2019}^{-1}}}}}=\sqrt{2018} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\approx 0,96669 \\
& b={{\left( \sqrt{2018} \right)}^{\sqrt[5]{2019}}}>1 \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó chọn C.
Cách 2: Đồ thị các hàm số $y={{a}^{x}}$ và $y={{\log }_{b}}x$ cùng đi qua điểm $M\left( \sqrt{2018};\sqrt[5]{{{2019}^{-1}}} \right)$ với ${{x}_{M}}>1$ ; $0<{{y}_{m}}<1$ nên $0<a<1,b>1$.
$\left\{ \begin{aligned}
& \sqrt[5]{{{2019}^{-1}}}={{a}^{\sqrt{2018}}} \\
& \sqrt[5]{{{2019}^{-1}}}={{\log }_{b}}\sqrt{2018} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a={{\left( \sqrt[5]{{{2019}^{-1}}} \right)}^{\sqrt{{{2018}^{-1}}}}} \\
& {{b}^{\sqrt[5]{{{2019}^{-1}}}}}=\sqrt{2018} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\approx 0,96669 \\
& b={{\left( \sqrt{2018} \right)}^{\sqrt[5]{2019}}}>1 \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó chọn C.
Cách 2: Đồ thị các hàm số $y={{a}^{x}}$ và $y={{\log }_{b}}x$ cùng đi qua điểm $M\left( \sqrt{2018};\sqrt[5]{{{2019}^{-1}}} \right)$ với ${{x}_{M}}>1$ ; $0<{{y}_{m}}<1$ nên $0<a<1,b>1$.
Đáp án C.