Cho các số thực $a, b \in (1; 3]$ thỏa mãn $a < b$ . Biết...

The Collectors · 15/3/22

Câu hỏi: Cho các số thực

a, b \in (1; 3]

thỏa mãn

a < b

. Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = \log_{a} (b^{2} + 9 b - 9) + 6 \log_{\frac{b}{a}}^{2} a

là

9 \sqrt[3]{\frac{1}{m}} + n

với

m, n

là các số nguyên dương. Tính

S = m^{2} + n^{2}

A.

S = 13

.
B.

S = 8

.
C.

S = 20

.
D.

S = 29

.

Ta có:

\forall b \in (1; 3]

:

b^{2} + 9 b - 9 \geq 3 b^{2}

Do đó:

\log_{a} (b^{2} + 9 b - 9) \geq \log_{a} (3 b^{2}) \geq \log_{a} (b^{3}) = 3 \log_{a} b

Dấu "=" xảy ra

\Leftrightarrow b = 3

\Rightarrow P \geq 3 \log_{a} b + \frac{6}{{(\log_{a} b - 1)}^{2}} = 3 [1 + \frac{\log_{a} b - 1}{2} + \frac{\log_{a} b - 1}{2} + \frac{2}{{(\log_{a} b - 1)}^{2}}]

Theo BĐT Cô-si ta có:

\frac{\log_{a} b - 1}{2} + \frac{\log_{a} b - 1}{2} + \frac{2}{{(\log_{a} b - 1)}^{2}} \geq 3 \sqrt[3]{{(\frac{\log_{a} b - 1}{2})}^{2} . \frac{2}{{(\log_{a} b - 1)}^{2}}} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{1}{2}}

\Rightarrow P \geq 3 [1 + \frac{\log_{a} b - 1}{2} + \frac{\log_{a} b - 1}{2} + \frac{2}{{(\log_{a} b - 1)}^{2}}] \geq 3. [3 \sqrt[3]{\frac{1}{2}} + 1] = 9 \sqrt[3]{\frac{1}{2}} + 3

Dấu "=" xảy ra

\Leftrightarrow {\begin{aligned} b = 3 \\ \frac{\log_{a} b - 1}{2} = \frac{2}{{(\log_{a} b - 1)}^{2}} \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} b = 3 \\ {(\log_{a} b - 1)}^{3} = 4 \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} b = 3 \\ \log_{a} 3 - 1 = \sqrt[3]{4} \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} b = 3 \\ 3 = a^{1 + \sqrt[3]{4}} \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} b = 3 \\ 3^{\frac{1}{1 + \sqrt[3]{4}}} = a \end{aligned}

.

\Rightarrow m = 2; n = 3 \Rightarrow S = 13

.

Đáp án A.

Cho các số thực a,b∈(1;3] thỏa mãn a<b. Biết...