Cho các số thực $a,b\in \left( 1;3 \right]$ thỏa mãn $a<b$. Biết...

Ta có: :
Do đó:
Dấu "=" xảy ra

Theo BĐT Cô-si ta có:


Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=3 \\
& \dfrac{{{\log }_{a}}b-1}{2}=\dfrac{2}{{{\left( {{\log }_{a}}b-1 \right)}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=3 \\
& {{\left( {{\log }_{a}}b-1 \right)}^{3}}=4 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=3 \\
& {{\log }_{a}}3-1=\sqrt[3]{4} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=3 \\
& 3={{a}^{1+\sqrt[3]{4}}} \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=3 \\
& {{3}^{\dfrac{1}{1+\sqrt[3]{4}}}}=a \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m=2;n=3\Rightarrow S=13$.