Cho các số thực $a,b,c$ thuộc khoảng $\left( 1;+\infty \right)$...

${{\log }^{2}}_{\sqrt{a}}b+{{\log }_{b}}c.{{\log }_{b}}\left( \dfrac{{{c}^{2}}}{b} \right)+9{{\log }_{a}}c=4{{\log }_{a}}b$ $\Leftrightarrow {{\left( 2{{\log }_{a}}b \right)}^{2}}+{{\log }_{b}}c.\left( 2{{\log }_{b}}c-1 \right)+9{{\log }_{a}}c=4{{\log }_{a}}b$
$\Leftrightarrow {{\left( 2{{\log }_{a}}b \right)}^{2}}+{{\log }_{b}}c.2{{\log }_{b}}c-{{\log }_{b}}c+9{{\log }_{a}}b.{{\log }_{b}}c-4{{\log }_{a}}b=0$ (1).
Đặt $\left\{ \begin{matrix}
{{\log }_{a}}b=x \\
{{\log }_{b}}c=y \\
\end{matrix} \right. $. Do $ a,b,c $thuộc khoảng $ \left( 1;+\infty \right) $ nên $ x>0;y>0$.
Khi đó (1) trở thành $4{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-y+9xy-4x=0$
$\Leftrightarrow \left( 4{{x}^{2}}+xy \right)+\left( 2{{y}^{2}}+8xy \right)-\left( y+4x \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( 4x+y \right)\left( x+2y-1 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
4x+y=0 \\
x+2y-1=0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
y=-4x \\
x+2y=1 \\
\end{matrix} \right.$.
Do $x>0;y>0$ nên $y=-4x$ bị loại. Khi đó $x+2y=1$
Suy ra ${{\log }_{a}}b+2{{\log }_{b}}c=1\Leftrightarrow {{\log }_{a}}b+{{\log }_{b}}{{c}^{2}}=1$