Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn ${{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}+{{\left( c-2 \right)}^{2}}=8$ và...

Phương pháp:
- Từ giả thiết ${{2}^{a}}={{7}^{b}}={{14}^{-c}}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{a}}={{14}^{-c}} \\
& {{7}^{b}}={{14}^{-c}} \\
\end{aligned} \right., $ mũ $ b $ hai vế của mỗi phương trình và chứng minh $ ab+bc+ca=0.$
- Khai triển ${{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}+{{\left( c-2 \right)}^{2}}=8,$ sử dụng ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{\left( a+b+c \right)}^{2}}-2\left( ab+bc+ca \right).$
- Tiếp tục sử dụng hằng đẳng thức và tìm $a+b+c.$
Cách giải:
Ta có ${{2}^{a}}={{7}^{b}}={{14}^{-c}}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{a}}={{14}^{-c}} \\
& {{7}^{b}}={{14}^{-c}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( {{2}^{a}} \right)}^{b}}={{\left( {{14}^{-c}} \right)}^{b}} \\
& {{\left( {{7}^{b}} \right)}^{a}}={{\left( {{14}^{-c}} \right)}^{a}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{ab}}={{14}^{-cb}} \\
& {{7}^{ab}}={{14}^{-ca}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{14}^{ab}}={{14}^{-cb-ca}}$
$\Rightarrow ab+bc+ca=0$
Mà ${{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}+{{\left( c-2 \right)}^{2}}=8\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-4\left( a+b+c \right)+4=0.$
Nên ${{\left( a+b+c \right)}^{2}}-2\left( ab+bc+ca \right)-4\left( a+b+c \right)+4=0$
$\Rightarrow {{\left( a+b+c \right)}^{2}}-4\left( a+b+c \right)+4=0$
$\Leftrightarrow {{\left( a+b+c-2 \right)}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow a+b+c=2\Leftrightarrow {{2}^{a+b+c}}=4$