Google
Câu hỏi: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn $5\log _{2}^{2}a+16\log _{2}^{2}b+27\log _{2}^{2}c=1$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $S={{\log }_{2}}alo{{g}_{2}}b+{{\log }_{2}}b{{\log }_{2}}c+{{\log }_{2}}c{{\log }_{2}}a$ bằng
A. $\dfrac{1}{16}$
B. $\dfrac{1}{12}$
C. $\dfrac{1}{9}$
D. $\dfrac{1}{8}$
A. $\dfrac{1}{16}$
B. $\dfrac{1}{12}$
C. $\dfrac{1}{9}$
D. $\dfrac{1}{8}$
Đặt $x={{\log }_{2}}a,y={{\log }_{2}}b,z={{\log }_{2}}c$. Giả thiết trở thành $5{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}+27{{z}^{2}}=1$
Ta đi tìm GTLN của $S=xy+yz+zx$
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức ta có
$11{{x}^{2}}+22{{y}^{2}}+33{{z}^{2}}=\dfrac{{{x}^{2}}}{\dfrac{1}{11}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{\dfrac{1}{22}}+\dfrac{{{z}^{2}}}{\dfrac{1}{33}}\ge \dfrac{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}}{\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{22}+\dfrac{1}{33}}=6{{\left( x+y+z \right)}^{2}}$
Suy ra $5{{z}^{2}}+16{{y}^{2}}+27{{z}^{2}}\ge 12\left( xy+yz+za \right)$. Do đó $S\le \dfrac{1}{12}$
Cách 2: Ghép cặp và dùng BĐT Cauchy. Cụ thể $\left\{ \begin{aligned}
& 3{{x}^{2}}+12{{y}^{2}}\ge 12xy \\
& 2{{x}^{2}}+18{{z}^{2}}\ge 12xz \\
& 4{{y}^{2}}+9{{z}^{2}}\ge 12yz \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( dpcm \right)$.
Ta đi tìm GTLN của $S=xy+yz+zx$
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức ta có
$11{{x}^{2}}+22{{y}^{2}}+33{{z}^{2}}=\dfrac{{{x}^{2}}}{\dfrac{1}{11}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{\dfrac{1}{22}}+\dfrac{{{z}^{2}}}{\dfrac{1}{33}}\ge \dfrac{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}}{\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{22}+\dfrac{1}{33}}=6{{\left( x+y+z \right)}^{2}}$
Suy ra $5{{z}^{2}}+16{{y}^{2}}+27{{z}^{2}}\ge 12\left( xy+yz+za \right)$. Do đó $S\le \dfrac{1}{12}$
Cách 2: Ghép cặp và dùng BĐT Cauchy. Cụ thể $\left\{ \begin{aligned}
& 3{{x}^{2}}+12{{y}^{2}}\ge 12xy \\
& 2{{x}^{2}}+18{{z}^{2}}\ge 12xz \\
& 4{{y}^{2}}+9{{z}^{2}}\ge 12yz \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( dpcm \right)$.
Đáp án B.