Cho các số thực a, b, c thỏa mãn $5\log _{2}^{2}a+16\log...

The Knowledge · 20/1/22

Câu hỏi: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn

5 \log_{2}^{2} a + 16 \log_{2}^{2} b + 27 \log_{2}^{2} c = 1

. Giá trị lớn nhất của biểu thức

S = \log_{2} a l o g_{2} b + \log_{2} b \log_{2} c + \log_{2} c \log_{2} a

bằng
A.

\frac{1}{16}

B.

\frac{1}{12}

C.

\frac{1}{9}

D.

\frac{1}{8}

Đặt

x = \log_{2} a, y = \log_{2} b, z = \log_{2} c

. Giả thiết trở thành

5 x^{2} + 16 y^{2} + 27 z^{2} = 1

Ta đi tìm GTLN của

S = x y + y z + z x

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức ta có

11 x^{2} + 22 y^{2} + 33 z^{2} = \frac{x^{2}}{\frac{1}{11}} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{22}} + \frac{z^{2}}{\frac{1}{33}} \geq \frac{{(x + y + z)}^{2}}{\frac{1}{11} + \frac{1}{22} + \frac{1}{33}} = 6 {(x + y + z)}^{2}

Suy ra

5 z^{2} + 16 y^{2} + 27 z^{2} \geq 12 (x y + y z + z a)

. Do đó

S \leq \frac{1}{12}

Cách 2: Ghép cặp và dùng BĐT Cauchy. Cụ thể

{\begin{aligned} 3 x^{2} + 12 y^{2} \geq 12 x y \\ 2 x^{2} + 18 z^{2} \geq 12 x z \\ 4 y^{2} + 9 z^{2} \geq 12 y z \end{aligned} \Rightarrow (d p c m)

.

Đáp án B.