Google
Câu hỏi: Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $3^{a}=5^{b}=15^{-c}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}-4(a+b+c)$
A. $-3-\log _{5} 3$.
B. $-4.$
C. $12 \pi$.
D. $25 \pi$.
A. $-3-\log _{5} 3$.
B. $-4.$
C. $12 \pi$.
D. $25 \pi$.
Ta có ${{3}^{a}}={{5}^{b}}={{15}^{-c}}\Leftrightarrow a=b{{\log }_{3}}5=-c{{\log }_{3}}15=-c\left( 1+{{\log }_{3}}5 \right)$
$\Rightarrow {{\log }_{3}}5=\dfrac{a}{b}=\dfrac{-c}{b+c}\Rightarrow ab+bc+ac=0$.
Ta có: $P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-4(a+b+c)={{(a+b+c)}^{2}}-2(ab+bc+ac)-4(a+b+c)$
$={{\left[ (a+b+c)-2 \right]}^{2}}-4\ge -4$.
$\Rightarrow {{\log }_{3}}5=\dfrac{a}{b}=\dfrac{-c}{b+c}\Rightarrow ab+bc+ac=0$.
Ta có: $P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-4(a+b+c)={{(a+b+c)}^{2}}-2(ab+bc+ac)-4(a+b+c)$
$={{\left[ (a+b+c)-2 \right]}^{2}}-4\ge -4$.
Đáp án B.