Google
Câu hỏi: Cho các số thực a, b, c, d thoả mãn $\dfrac{1}{{{2}^{a}}}+\dfrac{1}{{{4}^{b}}}+\dfrac{1}{{{8}^{c}}}+\dfrac{1}{{{16}^{d}}}=\dfrac{1}{4}$. Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=a+2b+3c+4d.$ Giá trị của biểu thức ${{\log }_{2}}m$ bằng
A. $\dfrac{1}{2}.$
B. 2.
C. $\dfrac{1}{4}.$
D. 4.
A. $\dfrac{1}{2}.$
B. 2.
C. $\dfrac{1}{4}.$
D. 4.
Đặt $t=\dfrac{1}{2}$. Khi đó từ giả thiết ta được ${{t}^{a}}+{{t}^{2b}}+{{t}^{3c}}+{{t}^{4d}}={{t}^{2}}$.
Áp dụng bất đẳng thức cosi ta được:
${{t}^{2}}={{t}^{a}}+{{t}^{2b}}+{{t}^{3c}}+{{t}^{4d}}\ge 4{{t}^{\dfrac{S}{4}}}\Rightarrow 2\le {{\log }_{t}}\left( 4 \right)+\dfrac{S}{4}\Rightarrow S\ge 16\Rightarrow m=16\Rightarrow {{\log }_{2}}m=4$.
Áp dụng bất đẳng thức cosi ta được:
${{t}^{2}}={{t}^{a}}+{{t}^{2b}}+{{t}^{3c}}+{{t}^{4d}}\ge 4{{t}^{\dfrac{S}{4}}}\Rightarrow 2\le {{\log }_{t}}\left( 4 \right)+\dfrac{S}{4}\Rightarrow S\ge 16\Rightarrow m=16\Rightarrow {{\log }_{2}}m=4$.
Đáp án D.