Cho các số thực $a, b, c, d$ thỏa mãn ${{\log }_{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2}}\left(4a+6b-7 \right)=1$ và ${{27}^{c}}{{. 81}^{d}}=6c+8d+1.$ Tìm giá trị...

Giả sử $M\left(a; b \right); N\left(c; d \right)$ ta có $P={{\left(a-c \right)}^{2}}+{{\left(b-d \right)}^{2}}=M{{N}^{2}}$
Ta có: ${{\log }_{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2}}\left(4a+6b-7 \right)=1\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2=4a+6b-7\Leftrightarrow {{\left(a-2 \right)}^{2}}+{{\left(b-3 \right)}^{2}}=4$ (1)
${{27}^{c}}{{. 81}^{d}}=6c+8d+1\Leftrightarrow {{3}^{3c+4d}}=2\left(3c+4d \right)+1$ (2)
Xét hàm số $f\left(t \right)={{3}^{t}}-2t-1,$ ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left(t \right)={{3}^{t}}\ln 3-2 \\
& f\left(0 \right)=f\left(1 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
${f}'\left(t \right)=0\Leftrightarrow t={{\log }_{3}}\left(\frac{2}{\ln 3} \right)$
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có $f\left(t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0 \\
& t=1 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó: $\left(2 \right)\Leftrightarrow f\left(3c+4d \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 3c+4d=0 \\
& 3c+4d=1 \\
\end{aligned} \right.\text{ }\left(3 \right)$
Từ (1) và (3) ta có: $M\in \left(C \right):{{\left(x-2 \right)}^{2}}+{{\left(b-3 \right)}^{2}}=4$ là đường tròn tâm $I\left(2; 3 \right)$ bán kính $R=2.$
$\left[ \begin{aligned}
& N\in {{\Delta }_{1}}:3x+4y=0 \\
& N\in {{\Delta }_{2}}:3x+4y-1=0 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có
$\begin{aligned}
& d\left(I,{{\Delta }_{1}} \right)=\frac{\left| 3.2+4.3 \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}=\frac{18}{5}>R \\
& d\left(I,{{\Delta }_{2}} \right)=\frac{\left| 3.2+4.3-1 \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}=\frac{17}{5}>R \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow M{{N}_{\min }}=\min \left\{ d\left(I,{{\Delta }_{1}} \right)-R; d\left(I,{{\Delta }_{2}} \right)-R \right\}=\frac{17}{5}-2=\frac{7}{5}$
$\Rightarrow {{P}_{\min }}=M{{N}^{2}}=\frac{49}{25}$.