Cho các số thực $a,b,c<0$ và hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên...

Đặt $t=\sqrt{f\left(x\right)},(t\ge 0)$, phương trình trở thành $f(f\left(t\right)+t^2+t)=f\left(1\right)$, (*). Trên nửa khoảng $[0;+\mathrm{\infty })$ hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến suy ra $f\left(t\right)+t^2+t=1\iff f\left(t\right)+t^2+t-1=0$ (1)
Xét hàm số $g\left(t\right)=f\left(t\right)+t^2+t-1$ trên $[0;+\mathrm{\infty })$, ta có : $g^{\prime }\left(t\right)=f^{\prime }\left(t\right)+2t+1>0,\mathrm{\forall }t\ge 0$.
Mặt khác $g\left(0\right)=-1<0,g\left(1\right)=f\left(1\right)+1>0$ suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất $t=t_o\in (0;1)$ suy ra $\sqrt{f\left(x\right)}=t_0\iff f\left(x\right)=t_o^2,(0<t_o^2<1)$.
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt.