Google
Câu hỏi: Cho các số thực $a, b, c<0$ và hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Phương trình $f\left( f\left( \sqrt{f\left( x \right)} \right)+f\left( x \right)+\sqrt{f\left( x \right)} \right)=f\left( 1 \right)$ có số nghiệm là:
A. $3$.
B. $1$.
C. $4$.
D. $2$.
A. $3$.
B. $1$.
C. $4$.
D. $2$.
Đặt $t=\sqrt{f\left( x \right)}, \left( t\ge 0 \right)$, phương trình trở thành $f\left( f\left( t \right)+{{t}^{2}}+t \right)=f\left( 1 \right)$, (*). Trên nửa khoảng $\left[ 0; +\infty \right)$ hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến suy ra $f\left( t \right)+{{t}^{2}}+t=1\Leftrightarrow f\left( t \right)+{{t}^{2}}+t-1=0$ (1)
Xét hàm số $g\left( t \right)=f\left( t \right)+{{t}^{2}}+t-1$ trên $\left[ 0; +\infty \right)$, ta có : ${g}'\left( t \right)={f}'\left( t \right)+2t+1>0, \forall t\ge 0$.
Mặt khác $g\left( 0 \right)=-1<0, g\left( 1 \right)=f\left( 1 \right)+1>0$ suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất $t={{t}_{o}}\in \left( 0; 1 \right)$ suy ra $\sqrt{f\left( x \right)}={{t}_{0}}\Leftrightarrow f\left( x \right)=t_{o}^{2}, (0<t_{o}^{2}<1)$.
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt.
Xét hàm số $g\left( t \right)=f\left( t \right)+{{t}^{2}}+t-1$ trên $\left[ 0; +\infty \right)$, ta có : ${g}'\left( t \right)={f}'\left( t \right)+2t+1>0, \forall t\ge 0$.
Mặt khác $g\left( 0 \right)=-1<0, g\left( 1 \right)=f\left( 1 \right)+1>0$ suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất $t={{t}_{o}}\in \left( 0; 1 \right)$ suy ra $\sqrt{f\left( x \right)}={{t}_{0}}\Leftrightarrow f\left( x \right)=t_{o}^{2}, (0<t_{o}^{2}<1)$.
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt.
Đáp án A.