Google
Câu hỏi: . Cho các số thực $a,b>1$ và phương trình ${{\log }_{a}}\left( ax \right).{{\log }_{b}}\left( bx \right)=2020$ có hai nghiệm phân biệt m và n. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left( 4{{a}^{2}}+9{{b}^{2}} \right)\left( 36{{m}^{2}}{{n}^{2}}+1 \right).$
A. 144.
B. 72.
C. 36.
D. 288.
A. 144.
B. 72.
C. 36.
D. 288.
Phương trình $\Leftrightarrow \left( 1+{{\log }_{a}}x \right)\left( 1+{{\log }_{b}}x \right)=2020$
$\Leftrightarrow {{\log }_{a}}x.{{\log }_{b}}x+{{\log }_{a}}x+{{\log }_{b}}x-2019=0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{b}}a{{\left( {{\log }_{a}}x \right)}^{2}}+\left( 1+{{\log }_{b}}a \right){{\log }_{a}}x-2019=0$
Phương trình luôn có 2 nghiệm vì $P<0$, theo Vi-ét ta có:
${{\log }_{a}}m+{{\log }_{a}}n=-\dfrac{1+{{\log }_{b}}a}{{{\log }_{b}}a}=-{{\log }_{a}}b-1={{\log }_{a}}\left( \dfrac{1}{ab} \right)\Leftrightarrow mn=\dfrac{1}{ab}$.
Suy ra $P=\left( 4{{\text{a}}^{2}}+9{{b}^{2}} \right)\left( \dfrac{36}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}+1 \right)\ge 2\sqrt{4{{\text{a}}^{2}}.9{{b}^{2}}}.2\sqrt{\dfrac{36}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}}=144$.
$\Leftrightarrow {{\log }_{a}}x.{{\log }_{b}}x+{{\log }_{a}}x+{{\log }_{b}}x-2019=0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{b}}a{{\left( {{\log }_{a}}x \right)}^{2}}+\left( 1+{{\log }_{b}}a \right){{\log }_{a}}x-2019=0$
Phương trình luôn có 2 nghiệm vì $P<0$, theo Vi-ét ta có:
${{\log }_{a}}m+{{\log }_{a}}n=-\dfrac{1+{{\log }_{b}}a}{{{\log }_{b}}a}=-{{\log }_{a}}b-1={{\log }_{a}}\left( \dfrac{1}{ab} \right)\Leftrightarrow mn=\dfrac{1}{ab}$.
Suy ra $P=\left( 4{{\text{a}}^{2}}+9{{b}^{2}} \right)\left( \dfrac{36}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}+1 \right)\ge 2\sqrt{4{{\text{a}}^{2}}.9{{b}^{2}}}.2\sqrt{\dfrac{36}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}}=144$.
Đáp án A.