. Cho các số thực $a, b > 1$ và phương trình ${{\log }_{a}}\left( ax...

The Knowledge · 19/12/21

Câu hỏi: . Cho các số thực

a, b > 1

và phương trình

\log_{a} (a x) . \log_{b} (b x) = 2020

có hai nghiệm phân biệt m và n. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = (4 a^{2} + 9 b^{2}) (36 m^{2} n^{2} + 1) .

A. 144.
B. 72.
C. 36.
D. 288.

Phương trình

\Leftrightarrow (1 + \log_{a} x) (1 + \log_{b} x) = 2020

\Leftrightarrow \log_{a} x . \log_{b} x + \log_{a} x + \log_{b} x - 2019 = 0

\Leftrightarrow \log_{b} a {(\log_{a} x)}^{2} + (1 + \log_{b} a) \log_{a} x - 2019 = 0

Phương trình luôn có 2 nghiệm vì

P < 0

, theo Vi-ét ta có:

\log_{a} m + \log_{a} n = - \frac{1 + \log_{b} a}{\log_{b} a} = - \log_{a} b - 1 = \log_{a} (\frac{1}{a b}) \Leftrightarrow m n = \frac{1}{a b}

.
Suy ra

P = (4 a^{2} + 9 b^{2}) (\frac{36}{a^{2} b^{2}} + 1) \geq 2 \sqrt{4 a^{2} .9 b^{2}} .2 \sqrt{\frac{36}{a^{2} b^{2}}} = 144

.

Đáp án A.

. Cho các số thực a,b>1 và phương trình ${{\log }_{a}}\left( ax...