Google
Câu hỏi: Cho các số phức $z,{{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thay đổi thỏa mãn các điều kiện sau: $\left| iz+2i+4 \right|=3$, phần thực của ${{z}_{1}}$ bằng 2, phần ảo của ${{z}_{2}}$ bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T={{\left| z-{{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| z-{{z}_{2}} \right|}^{2}}$
A. $9.$
B. $2.$
C. $5.$
D. $4.$
A. $9.$
B. $2.$
C. $5.$
D. $4.$
Đặt $z=x+yi,x,y\in \mathbb{R}$, ta có $M\left( z \right)=M\left( x;y \right)$
Khi đó: $\left| iz+2i+4 \right|=3\Leftrightarrow \left| i\left( x+yi \right)+2i+4 \right|=3\Leftrightarrow \left| \left( -y+4 \right)+\left( x+2 \right)i \right|=3$
$\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=9$
Suy ra tập hợp điểm $M$ là đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( -2;4 \right)$, bán kính $R=3.$
Mặt khác: ${{z}_{1}}=2+bi\Rightarrow A\left( {{z}_{1}} \right)=A\left( 2;b \right)\Rightarrow $ Tập hợp điểm $A$ là đường thẳng ${{d}_{1}}:\ \ x=2.$
${{z}_{2}}=a+i\Rightarrow B\left( {{z}_{2}} \right)=B\left( a;1 \right)\Rightarrow $ Tập hợp điểm $B$ là đường thẳng ${{d}_{2}}:\ \ y=1.$
Giao điểm của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là $P\left( 2;\ 1 \right)$.
Gọi $H$ và $K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}.$
Ta có: $T={{\left| z-{{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| z-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}\ge M{{H}^{2}}+M{{K}^{2}}=M{{P}^{2}}$.
$T$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $A\equiv H,B\equiv K$ và $I,M,P$ thẳng hàng (theo thứ tự đó).
Phương trình đường thẳng $IP:\left\{ \begin{aligned}
& x=2+4t \\
& y=1-3t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M\left( 2+4t;1-3t \right) $ (vì $ M\in IP$).
Mà $M\in \left( C \right)$ nên ta có ${{\left( 4+4t \right)}^{2}}+{{\left( -3-3t \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow {{\left( 1+t \right)}^{2}}=\dfrac{9}{25}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-\dfrac{2}{5} \\
& t=-\dfrac{8}{5} \\
\end{aligned} \right.$
- Với $t=-\dfrac{8}{5}\Rightarrow M\left( -\dfrac{22}{5};\dfrac{29}{5} \right)$ (loại)
- Với $t=-\dfrac{2}{5}\Rightarrow M\left( \dfrac{2}{5};\dfrac{11}{5} \right)\Rightarrow z=\dfrac{2}{5}+\dfrac{11}{5}i\Rightarrow {{z}_{1}}=2+\dfrac{11}{5}i,{{z}_{2}}=\dfrac{2}{5}+i.$
Suy ra $M{{P}_{\min }}=IP-IM=IP-R=\sqrt{{{4}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}}-3=2$.
Vậy ${{T}_{\min }}={{2}^{2}}=4$ khi $z=\dfrac{2}{5}+\dfrac{11}{5}i,\ {{z}_{1}}=2+\dfrac{11}{5}i,\ {{z}_{2}}=\dfrac{2}{5}+i.$
Khi đó: $\left| iz+2i+4 \right|=3\Leftrightarrow \left| i\left( x+yi \right)+2i+4 \right|=3\Leftrightarrow \left| \left( -y+4 \right)+\left( x+2 \right)i \right|=3$
$\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=9$
Suy ra tập hợp điểm $M$ là đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( -2;4 \right)$, bán kính $R=3.$
Mặt khác: ${{z}_{1}}=2+bi\Rightarrow A\left( {{z}_{1}} \right)=A\left( 2;b \right)\Rightarrow $ Tập hợp điểm $A$ là đường thẳng ${{d}_{1}}:\ \ x=2.$
${{z}_{2}}=a+i\Rightarrow B\left( {{z}_{2}} \right)=B\left( a;1 \right)\Rightarrow $ Tập hợp điểm $B$ là đường thẳng ${{d}_{2}}:\ \ y=1.$
Giao điểm của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là $P\left( 2;\ 1 \right)$.
Gọi $H$ và $K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}.$
Ta có: $T={{\left| z-{{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| z-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}\ge M{{H}^{2}}+M{{K}^{2}}=M{{P}^{2}}$.
$T$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $A\equiv H,B\equiv K$ và $I,M,P$ thẳng hàng (theo thứ tự đó).
Phương trình đường thẳng $IP:\left\{ \begin{aligned}
& x=2+4t \\
& y=1-3t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M\left( 2+4t;1-3t \right) $ (vì $ M\in IP$).
Mà $M\in \left( C \right)$ nên ta có ${{\left( 4+4t \right)}^{2}}+{{\left( -3-3t \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow {{\left( 1+t \right)}^{2}}=\dfrac{9}{25}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-\dfrac{2}{5} \\
& t=-\dfrac{8}{5} \\
\end{aligned} \right.$
- Với $t=-\dfrac{8}{5}\Rightarrow M\left( -\dfrac{22}{5};\dfrac{29}{5} \right)$ (loại)
- Với $t=-\dfrac{2}{5}\Rightarrow M\left( \dfrac{2}{5};\dfrac{11}{5} \right)\Rightarrow z=\dfrac{2}{5}+\dfrac{11}{5}i\Rightarrow {{z}_{1}}=2+\dfrac{11}{5}i,{{z}_{2}}=\dfrac{2}{5}+i.$
Suy ra $M{{P}_{\min }}=IP-IM=IP-R=\sqrt{{{4}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}}-3=2$.
Vậy ${{T}_{\min }}={{2}^{2}}=4$ khi $z=\dfrac{2}{5}+\dfrac{11}{5}i,\ {{z}_{1}}=2+\dfrac{11}{5}i,\ {{z}_{2}}=\dfrac{2}{5}+i.$
Đáp án D.