Google
Câu hỏi: Cho các số phức z, w thỏa mãn $\left| w+i \right|=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$ và $5w=\left( 2+i \right)\left( z-4 \right)$. Giá trị lớn nhất của $P=\left| z-1-2i \right|+\left| z-5-2i \right|$ bằng
A. $4\sqrt{13}$
B. $4+2\sqrt{13}$
C. $2\sqrt{53}$
D. $6\sqrt{7}$
A. $4\sqrt{13}$
B. $4+2\sqrt{13}$
C. $2\sqrt{53}$
D. $6\sqrt{7}$
Ta có $5w=\left( 2+i \right)\left( z-4 \right)\Leftrightarrow 5.\left( w+i \right)=\left( 2+i \right)z-8+i$
$\Leftrightarrow 5\left| w+i \right|=\left| \left( 2+i \right)z-8+i \right|\Leftrightarrow \left| \left( 2+i \right)z-8+i \right|=3\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| z-3+2i \right|=3$
$\Rightarrow $ Tập hợp điểm $M\left( z \right)$ là đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=9$
Gọi $A\left( 1; 2 \right), B\left( 5; 2 \right), E\left( 3; 2 \right)$ là trung điểm $AB\Rightarrow P=MA+MB$
Lại có ${{\left( MA+MB \right)}^{2}}\le 2.\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)=4M{{E}^{2}}+A{{B}^{2}}$
Do P lớn nhất khi ME lớn nhất $\Rightarrow M{{E}_{\max }}=IE+R=7$
Vậy ${{P}_{\max }}=\sqrt{4M{{E}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{4.7}^{2}}+{{4}^{2}}}=2\sqrt{53}$.
Ngoài ra, có thể sử dụng các bất đẳng thức Cô-si, Bu-nhi-a-cốp-xki và bất đẳng thức tam giác.
$\Leftrightarrow 5\left| w+i \right|=\left| \left( 2+i \right)z-8+i \right|\Leftrightarrow \left| \left( 2+i \right)z-8+i \right|=3\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| z-3+2i \right|=3$
$\Rightarrow $ Tập hợp điểm $M\left( z \right)$ là đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=9$
Gọi $A\left( 1; 2 \right), B\left( 5; 2 \right), E\left( 3; 2 \right)$ là trung điểm $AB\Rightarrow P=MA+MB$
Lại có ${{\left( MA+MB \right)}^{2}}\le 2.\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)=4M{{E}^{2}}+A{{B}^{2}}$
Do P lớn nhất khi ME lớn nhất $\Rightarrow M{{E}_{\max }}=IE+R=7$
Vậy ${{P}_{\max }}=\sqrt{4M{{E}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{4.7}^{2}}+{{4}^{2}}}=2\sqrt{53}$.
Note 11: Phương pháp chung
Sử dụng phương pháp hình học để giải các bài tập, tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Có 4 tập hợp điểm thường gặp: Đường thẳng, đường tròn, đường elip, parabol. Từ đó vẽ tập hợp điểm biểu diễn số phức rồi tìm min, max của môđunNgoài ra, có thể sử dụng các bất đẳng thức Cô-si, Bu-nhi-a-cốp-xki và bất đẳng thức tam giác.
Đáp án C.