Google
Câu hỏi: Cho các số phức $z$ và $w$ thỏa mãn $\left( 2+i \right)\left| z \right|=\dfrac{z}{w}+1-i.$ Tìm giá trị lớn nhất của $T=\left| w+1-i \right|.$
A. $\dfrac{4\sqrt{2}}{3}.$
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}.$
C. $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.$
D. $\sqrt{2}.$
A. $\dfrac{4\sqrt{2}}{3}.$
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}.$
C. $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.$
D. $\sqrt{2}.$
Ta có:
$\left( 2+i \right)\left| z \right|=\dfrac{z}{w}+1-i\Leftrightarrow \dfrac{z}{w}=\left( 2\left| z \right|-1 \right)+\left( \left| z \right|+1 \right)i$
$\Rightarrow \left| \dfrac{z}{2} \right|-\left| \left( 2\left| z \right|-1 \right)+\left( \left| z \right|+1 \right)i \right|\Leftrightarrow \left| \dfrac{z}{w} \right|-\sqrt{5{{\left| z \right|}^{2}}-2\left| z \right|+2}.$
Suy ra: $\left| w \right|=\sqrt{\dfrac{1}{\dfrac{2}{{{\left| z \right|}^{2}}}-\dfrac{2}{\left| z \right|}+5}}-\sqrt{\dfrac{1}{2{{\left( \dfrac{1}{\left| z \right|}-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{9}{2}}}\le \dfrac{\sqrt{2}}{3}.$
Do đó, ta có:
Vì $\left| w \right|=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ và $\left| w \right|=k\left| 1-1 \right|$ nên $k=\dfrac{1}{3}.$ Suy ra $w=\dfrac{1}{3}\left( 1-i \right)$. Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy $T=\left| w+1-i \right|$ có giá trị lớn nhất là $\dfrac{4\sqrt{2}}{3}.$
$\left( 2+i \right)\left| z \right|=\dfrac{z}{w}+1-i\Leftrightarrow \dfrac{z}{w}=\left( 2\left| z \right|-1 \right)+\left( \left| z \right|+1 \right)i$
$\Rightarrow \left| \dfrac{z}{2} \right|-\left| \left( 2\left| z \right|-1 \right)+\left( \left| z \right|+1 \right)i \right|\Leftrightarrow \left| \dfrac{z}{w} \right|-\sqrt{5{{\left| z \right|}^{2}}-2\left| z \right|+2}.$
Suy ra: $\left| w \right|=\sqrt{\dfrac{1}{\dfrac{2}{{{\left| z \right|}^{2}}}-\dfrac{2}{\left| z \right|}+5}}-\sqrt{\dfrac{1}{2{{\left( \dfrac{1}{\left| z \right|}-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{9}{2}}}\le \dfrac{\sqrt{2}}{3}.$
Do đó, ta có:
$T-\left| w+1-i \right|\le \left| w \right|+\left| 1-i \right|\le \dfrac{\sqrt{2}}{3}+\sqrt{2}=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}.$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{1}{\left| z \right|}=\dfrac{1}{2}$ và $w=k\left( 1-i \right),k\ge 0.$ Vì $\left| w \right|=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ và $\left| w \right|=k\left| 1-1 \right|$ nên $k=\dfrac{1}{3}.$ Suy ra $w=\dfrac{1}{3}\left( 1-i \right)$. Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy $T=\left| w+1-i \right|$ có giá trị lớn nhất là $\dfrac{4\sqrt{2}}{3}.$
Đáp án A.