Cho các số phức z và w thỏa mãn $\left( 2+i \right)\left| z...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: Cho các số phức z và w thỏa mãn

(2 + i) | z | = \frac{z}{w} + 1 - i

. Tìm giá trị lớn nhất của

T = | w + 1 - i |

A.

\frac{4 \sqrt{2}}{3}

B.

\frac{\sqrt{2}}{3}

C.

\frac{2 \sqrt{2}}{3}

D.

\sqrt{2}

Ta có

(2 + i) | z | = \frac{z}{w} + 1 - i \Leftrightarrow 2 | z | + | z | i - 1 + i = \frac{z}{w} \Leftrightarrow 2 | z | - 1 + (| z | + 1) i = \frac{z}{w}

(lấy môđun hai vế)

\Leftrightarrow \sqrt{{(2 | z | - 1)}^{2} + {(| z | + 1)}^{2}} = \frac{| z |}{| w |} \Leftrightarrow {| w |}^{2} = \frac{{| z |}^{2}}{5 {| z |}^{2} - 2 | z | + 2} \overset{t = | z | > 0}{\to} {| w |}^{2} = f (t) = \frac{t^{2}}{5 t^{2} - 2 t + 2}

Xét hàm số

f (t) = \frac{t^{2}}{5 t^{2} - 2 t + 2}

trên

(0; + \infty) \to max_{(0; + \infty)} f (t) = \frac{2}{9}

Do đó

{| w |}^{2} \leq \frac{2}{9} \Leftrightarrow | w | \leq \frac{\sqrt{2}}{3}

. Lại có

T = | w + 1 - i | \leq | w | + | 1 - i | \leq \frac{\sqrt{2}}{3} + \sqrt{2} = \frac{4 \sqrt{2}}{3}

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức T là

\frac{4 \sqrt{2}}{3}

.

Đáp án A.