Google
Câu hỏi: Cho các số phức z và w thỏa mãn $\left( 2+i \right)\left| z \right|=\dfrac{z}{w}+1-i$. Tìm giá trị lớn nhất của $T=\left| w+1-i \right|$
A. $\dfrac{4\sqrt{2}}{3}$
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$
C. $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
D. $\sqrt{2}$
A. $\dfrac{4\sqrt{2}}{3}$
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$
C. $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
D. $\sqrt{2}$
Ta có $\left( 2+i \right)\left| z \right|=\dfrac{z}{w}+1-i\Leftrightarrow 2\left| z \right|+\left| z \right|i-1+i=\dfrac{z}{w}\Leftrightarrow 2\left| z \right|-1+\left( \left| z \right|+1 \right)i=\dfrac{z}{w}$ (lấy môđun hai vế)
$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( 2\left| z \right|-1 \right)}^{2}}+{{\left( \left| z \right|+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{\left| z \right|}{\left| w \right|}\Leftrightarrow {{\left| w \right|}^{2}}=\dfrac{{{\left| z \right|}^{2}}}{5{{\left| z \right|}^{2}}-2\left| z \right|+2}\xrightarrow{t=\left| z \right|>0}{{\left| w \right|}^{2}}=f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}}{5{{t}^{2}}-2t+2}$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}}{5{{t}^{2}}-2t+2}$ trên $\left( 0;+\infty \right)\to \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }} f\left( t \right)=\dfrac{2}{9}$
Do đó ${{\left| w \right|}^{2}}\le \dfrac{2}{9}\Leftrightarrow \left| w \right|\le \dfrac{\sqrt{2}}{3}$. Lại có $T=\left| w+1-i \right|\le \left| w \right|+\left| 1-i \right|\le \dfrac{\sqrt{2}}{3}+\sqrt{2}=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}$
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức T là $\dfrac{4\sqrt{2}}{3}$.
$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( 2\left| z \right|-1 \right)}^{2}}+{{\left( \left| z \right|+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{\left| z \right|}{\left| w \right|}\Leftrightarrow {{\left| w \right|}^{2}}=\dfrac{{{\left| z \right|}^{2}}}{5{{\left| z \right|}^{2}}-2\left| z \right|+2}\xrightarrow{t=\left| z \right|>0}{{\left| w \right|}^{2}}=f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}}{5{{t}^{2}}-2t+2}$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}}{5{{t}^{2}}-2t+2}$ trên $\left( 0;+\infty \right)\to \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }} f\left( t \right)=\dfrac{2}{9}$
Do đó ${{\left| w \right|}^{2}}\le \dfrac{2}{9}\Leftrightarrow \left| w \right|\le \dfrac{\sqrt{2}}{3}$. Lại có $T=\left| w+1-i \right|\le \left| w \right|+\left| 1-i \right|\le \dfrac{\sqrt{2}}{3}+\sqrt{2}=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}$
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức T là $\dfrac{4\sqrt{2}}{3}$.
Đáp án A.