Cho các số phức $z$ và $w$ thỏa mãn $\left( 1+2i...

The Professor · 19/12/21

Câu hỏi: Cho các số phức

z

và

w

thỏa mãn

(1 + 2 i) | z | = \frac{z}{w} + 2 + 3 i

. Tìm giá trị lớn nhất của

T = | w + 2 + 3 i |

.
A.

4 \sqrt{13}

.
B.

\sqrt{13}

.
C.

3 \sqrt{13}

.
D.

2 \sqrt{13}

.

Ta có:

(1 + 2 i) | z | = \frac{z}{w} + 2 + 3 i

\Leftrightarrow (| z | - 2) + (2 | z | - 3) i = \frac{z}{w}

Lấy modul hai vế:

\sqrt{{(| z | - 2)}^{2} + {(2 | z | - 3)}^{2}} = \frac{| z |}{| w |}

đặt

t = | z |

điều kiện

t > 0

. Khi đó phương trình trở thành:

\sqrt{{(t - 2)}^{2} + {(2 t - 3)}^{2}} = \frac{t}{| w |}

\Rightarrow \frac{1}{| w |} = \frac{\sqrt{{(t - 2)}^{2} + {(2 t - 3)}^{2}}}{t} = \sqrt{\frac{5 t^{2} - 16 t + 13}{t^{2}}} = \sqrt{5 - \frac{16}{t} + \frac{13}{t^{2}}} = \sqrt{\frac{1}{13} + 13 {(\frac{8}{13} - \frac{1}{t})}^{2}} \geq \frac{1}{\sqrt{13}}

\Rightarrow | w | \leq \sqrt{13}

.
Khi đó

T = | w + 2 + 3 i | \leq | w | + | 2 + 3 i | \leq \sqrt{13} + \sqrt{13} = 2 \sqrt{13}

.
Dấu bằng xảy ra khi

{\begin{aligned} | w | = \sqrt{13} \\ | z | = \frac{13}{8} \end{aligned}

.

Đáp án D.

Cho các số phức z và w thỏa mãn $\left( 1+2i...