Google
Câu hỏi: Cho các số phức $z$ và $\text{w}$ thỏa mãn $\left( 1+2i \right)\left| z \right|=\dfrac{z}{\text{w}}+2+3i$. Tìm giá trị lớn nhất của
$T=\left| \text{w}+2+3i \right|$.
A. $4\sqrt{13}$.
B. $\sqrt{13}$.
C. $3\sqrt{13}$.
D. $2\sqrt{13}$.
$T=\left| \text{w}+2+3i \right|$.
A. $4\sqrt{13}$.
B. $\sqrt{13}$.
C. $3\sqrt{13}$.
D. $2\sqrt{13}$.
Ta có: $\left( 1+2i \right)\left| z \right|=\dfrac{z}{\text{w}}+2+3i$ $\Leftrightarrow \left( \left| z \right|-2 \right)+\left( 2\left| z \right|-3 \right)i=\dfrac{z}{\text{w}}$
Lấy modul hai vế: $\sqrt{{{\left( \left| z \right|-2 \right)}^{2}}+{{\left( 2\left| z \right|-3 \right)}^{2}}}=\dfrac{\left| z \right|}{\left| \text{w} \right|}$
đặt $t=\left| z \right|$ điều kiện $t>0$. Khi đó phương trình trở thành: $\sqrt{{{\left( t-2 \right)}^{2}}+{{\left( 2t-3 \right)}^{2}}}=\dfrac{t}{\left| \text{w} \right|}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{\left| \text{w} \right|}=\dfrac{\sqrt{{{\left( t-2 \right)}^{2}}+{{\left( 2t-3 \right)}^{2}}}}{t}=\sqrt{\dfrac{5{{t}^{2}}-16t+13}{{{t}^{2}}}}=\sqrt{5-\dfrac{16}{t}+\dfrac{13}{{{t}^{2}}}}=\sqrt{\dfrac{1}{13}+13{{\left( \dfrac{8}{13}-\dfrac{1}{t} \right)}^{2}}}\ge \dfrac{1}{\sqrt{13}}$
$\Rightarrow \left| \text{w} \right|\le \sqrt{13}$.
Khi đó $T=\left| \text{w}+2+3i \right|\le \left| \text{w} \right|+\left| 2+3i \right|\le \sqrt{13}+\sqrt{13}=2\sqrt{13}$.
Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& \left| \text{w} \right|=\sqrt{13} \\
& \left| z \right|=\dfrac{13}{8} \\
\end{aligned} \right.$.
Lấy modul hai vế: $\sqrt{{{\left( \left| z \right|-2 \right)}^{2}}+{{\left( 2\left| z \right|-3 \right)}^{2}}}=\dfrac{\left| z \right|}{\left| \text{w} \right|}$
đặt $t=\left| z \right|$ điều kiện $t>0$. Khi đó phương trình trở thành: $\sqrt{{{\left( t-2 \right)}^{2}}+{{\left( 2t-3 \right)}^{2}}}=\dfrac{t}{\left| \text{w} \right|}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{\left| \text{w} \right|}=\dfrac{\sqrt{{{\left( t-2 \right)}^{2}}+{{\left( 2t-3 \right)}^{2}}}}{t}=\sqrt{\dfrac{5{{t}^{2}}-16t+13}{{{t}^{2}}}}=\sqrt{5-\dfrac{16}{t}+\dfrac{13}{{{t}^{2}}}}=\sqrt{\dfrac{1}{13}+13{{\left( \dfrac{8}{13}-\dfrac{1}{t} \right)}^{2}}}\ge \dfrac{1}{\sqrt{13}}$
$\Rightarrow \left| \text{w} \right|\le \sqrt{13}$.
Khi đó $T=\left| \text{w}+2+3i \right|\le \left| \text{w} \right|+\left| 2+3i \right|\le \sqrt{13}+\sqrt{13}=2\sqrt{13}$.
Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& \left| \text{w} \right|=\sqrt{13} \\
& \left| z \right|=\dfrac{13}{8} \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án D.