Cho các số phức $z$ thoả mãn $\left| z \right|=2$. Đặt $w=\left(...

Gọi số phức $z=a+bi$ với $a$, $b\in \mathbb{R}$. Ta có $\left| z \right|=2\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=2$ $\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4$ $\left( * \right)$.
Mà số phức $w=\left( 1+2i \right)z-1+2i$
$\Leftrightarrow w=\left( 1+2i \right)\left( a+bi \right)-1+2i$ $\Leftrightarrow w=\left( a-2b-1 \right)+\left( 2a+b+2 \right)i$.
Giả sử số phức $w=x+yi$ $\left( x, y\in \mathbb{R} \right)$. Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& x=a-2b-1 \\
& y=2a+b+2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x+1=a-2b \\
& y-2=2a+b \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}={{\left( a-2b \right)}^{2}}+{{\left( 2a+b \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}={{a}^{2}}+4{{b}^{2}}-4ab+4{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+4ab$
$\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$ $\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=20$ (theo $\left( * \right)$ ).
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w$ là đường tròn tâm $I\left( -1; 2 \right)$, bán kính $R=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.
Điểm $M$ là điểm biểu diễn của số phức $w$ thì $\left| w \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $OM$ nhỏ nhất.
Ta có $OI=\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{5}$, $IM=R=2\sqrt{5}$.
Mặt khác $OM\ge \left| OI-IM \right|$ $\Leftrightarrow OM\ge \left| \sqrt{5}-2\sqrt{5} \right|$ $\Leftrightarrow OM\ge \sqrt{5}$.
Do vậy $\left| w \right|$ nhỏ nhất bằng $\sqrt{5}$.