Google
Câu hỏi: Cho các số phức z thỏa mãn $\left( 2+i \right)\left| z \right|=\dfrac{5}{z}-1-3i$. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $\text{w}=\left( 3-4i \right)z+1$ là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.
A. $r=25$
B. $r=1$
C. $r=\sqrt{5}$
D. $r=5$
A. $r=25$
B. $r=1$
C. $r=\sqrt{5}$
D. $r=5$
$\left( 2+i \right)\left| z \right|=\dfrac{5}{z}-1-3i\Leftrightarrow \left( 2+i \right)\left| z \right|+1+3i=\dfrac{5}{z}$
$\Leftrightarrow \left( 2\left| z \right|+1 \right)+\left( \left| z \right|+3 \right)i=\dfrac{5}{z}$
Lấy môđun 2 vế $\sqrt{{{\left( 2\left| z \right|+1 \right)}^{2}}+{{\left( \left| z \right|+3 \right)}^{2}}}=\dfrac{5}{\left| z \right|}$.
Đặt $\left| z \right|=t; t\ge 0$ khi đó ta có phương trình ${{t}^{4}}+2{{t}^{3}}+2{{t}^{2}}-5=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow \left| z \right|=1$.
Khi đó $\text{w}=\left( 3-4i \right)z+1\Rightarrow \text{w}-1=\left( 3-4i \right)z\Rightarrow \left| \text{w}-1 \right|=\left| \left( 3-4i \right)z \right|$
$\left| \text{w}-1 \right|=\left| \left( 3-4i \right) \right|.\left| z \right|=5$.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w là đường tròn tâm $I\left( 1; 0 \right); r=5$.
$\Leftrightarrow \left( 2\left| z \right|+1 \right)+\left( \left| z \right|+3 \right)i=\dfrac{5}{z}$
Lấy môđun 2 vế $\sqrt{{{\left( 2\left| z \right|+1 \right)}^{2}}+{{\left( \left| z \right|+3 \right)}^{2}}}=\dfrac{5}{\left| z \right|}$.
Đặt $\left| z \right|=t; t\ge 0$ khi đó ta có phương trình ${{t}^{4}}+2{{t}^{3}}+2{{t}^{2}}-5=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow \left| z \right|=1$.
Khi đó $\text{w}=\left( 3-4i \right)z+1\Rightarrow \text{w}-1=\left( 3-4i \right)z\Rightarrow \left| \text{w}-1 \right|=\left| \left( 3-4i \right)z \right|$
$\left| \text{w}-1 \right|=\left| \left( 3-4i \right) \right|.\left| z \right|=5$.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w là đường tròn tâm $I\left( 1; 0 \right); r=5$.
Đáp án D.