Cho các số phức z thỏa mãn $\left( 2+i \right)\left| z...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho các số phức z thỏa mãn

(2 + i) | z | = \frac{5}{z} - 1 - 3 i

. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

w = (3 - 4 i) z + 1

là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.
A.

r = 25

B.

r = 1

C.

r = \sqrt{5}

D.

r = 5

(2 + i) | z | = \frac{5}{z} - 1 - 3 i \Leftrightarrow (2 + i) | z | + 1 + 3 i = \frac{5}{z}

\Leftrightarrow (2 | z | + 1) + (| z | + 3) i = \frac{5}{z}

Lấy môđun 2 vế

\sqrt{{(2 | z | + 1)}^{2} + {(| z | + 3)}^{2}} = \frac{5}{| z |}

.
Đặt

| z | = t; t \geq 0

khi đó ta có phương trình

t^{4} + 2 t^{3} + 2 t^{2} - 5 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow | z | = 1

.
Khi đó

w = (3 - 4 i) z + 1 \Rightarrow w - 1 = (3 - 4 i) z \Rightarrow | w - 1 | = | (3 - 4 i) z |

| w - 1 | = | (3 - 4 i) | . | z | = 5

.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w là đường tròn tâm

I (1; 0); r = 5

.

Đáp án D.