Cho các số phức $z_1,z_2,z$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}...

Gọi A, B, M lần lượt là các điểm biểu diễn số phức $z_1,z_2,z$.

Dựa vào điều kiện $\sqrt{2}\left|z_1\right|=\sqrt{2}\left|z_2\right|=|z_1-z_2|=2\sqrt{2}\Rightarrow OA=OB=2,AB=2\sqrt{2}$.
Suy ra ta có tam giác OAB vuông cân tại O.
Phép quay tâm B góc quay 60 ta có: $Q_{(B,-60{}^{\circ })}:A\mapsto A^{\prime };M\mapsto M^{\prime }$.
Do tam giác $\mathrm{\Delta }BM{M}^{\prime }$ đều $\Rightarrow AM=A^{\prime }{M}^{\prime },BM=M{M}^{\prime }$.
Suy ra $P=\left|z\right|+|z-z_1|+|z-z_2|=OM+AM+BM=OM+M{M}^{\prime }+A^{\prime }{M}^{\prime }\ge O{A}^{\prime }$.
Dấu "=" xảy ra khi $O,M,M^{\prime },A^{\prime }$ thẳng hàng.
Khi đó tam giác $OB{A}^{\prime }$ có $OB=2,B{A}^{\prime }=BA=2\sqrt{2}$ và $\widehat{OB{A}^{\prime }}=105{}^{\circ }$.
Từ đó suy ra $O{A}^{\prime }=\sqrt{O{B}^2+B{A^{\prime }}^2-2OB.B{A}^{\prime }.\cos 105{}^{\circ }}=2\sqrt{2+\sqrt{3}}$. Vậy $minP=2\sqrt{2+\sqrt{3}}$.