Google
Câu hỏi: Cho các số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}},z$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=2,\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2\sqrt{2}$.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| z \right|+\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-{{z}_{2}} \right|$ là
A. $2\sqrt{2+\sqrt{2}}$.
B. $2\sqrt{2+\sqrt{3}}$.
C. $\sqrt{2+\sqrt{3}}$.
D. $\sqrt{4+\sqrt{3}}$.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| z \right|+\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-{{z}_{2}} \right|$ là
A. $2\sqrt{2+\sqrt{2}}$.
B. $2\sqrt{2+\sqrt{3}}$.
C. $\sqrt{2+\sqrt{3}}$.
D. $\sqrt{4+\sqrt{3}}$.
Gọi A, B, M lần lượt là các điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}},z$.
Dựa vào điều kiện $\sqrt{2}\left| {{z}_{1}} \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2\sqrt{2}\Rightarrow OA=OB=2,AB=2\sqrt{2}$.
Suy ra ta có tam giác OAB vuông cân tại O.
Phép quay tâm B góc quay 60 ta có: ${{Q}_{\left( B,-60{}^\circ \right)}}:A\mapsto {A}';M\mapsto {M}'$.
Do tam giác $\Delta BM{M}'$ đều $\Rightarrow AM={A}'{M}',BM=M{M}'$.
Suy ra $P=\left| z \right|+\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-{{z}_{2}} \right|=OM+AM+BM=OM+M{M}'+{A}'{M}'\ge O{A}'$.
Dấu "=" xảy ra khi $O,M,{M}',{A}'$ thẳng hàng.
Khi đó tam giác $OB{A}'$ có $OB=2,B{A}'=BA=2\sqrt{2}$ và $\widehat{OB{A}'}=105{}^\circ $.
Từ đó suy ra $O{A}'=\sqrt{O{{B}^{2}}+B{{{{A}'}}^{2}}-2OB.B{A}' .\cos 105{}^\circ }=2\sqrt{2+\sqrt{3}}$. Vậy $\min P=2\sqrt{2+\sqrt{3}}$.
Dựa vào điều kiện $\sqrt{2}\left| {{z}_{1}} \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2\sqrt{2}\Rightarrow OA=OB=2,AB=2\sqrt{2}$.
Suy ra ta có tam giác OAB vuông cân tại O.
Phép quay tâm B góc quay 60 ta có: ${{Q}_{\left( B,-60{}^\circ \right)}}:A\mapsto {A}';M\mapsto {M}'$.
Do tam giác $\Delta BM{M}'$ đều $\Rightarrow AM={A}'{M}',BM=M{M}'$.
Suy ra $P=\left| z \right|+\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-{{z}_{2}} \right|=OM+AM+BM=OM+M{M}'+{A}'{M}'\ge O{A}'$.
Dấu "=" xảy ra khi $O,M,{M}',{A}'$ thẳng hàng.
Khi đó tam giác $OB{A}'$ có $OB=2,B{A}'=BA=2\sqrt{2}$ và $\widehat{OB{A}'}=105{}^\circ $.
Từ đó suy ra $O{A}'=\sqrt{O{{B}^{2}}+B{{{{A}'}}^{2}}-2OB.B{A}' .\cos 105{}^\circ }=2\sqrt{2+\sqrt{3}}$. Vậy $\min P=2\sqrt{2+\sqrt{3}}$.
Đáp án B.