Google
Câu hỏi: Cho các số phức ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$, ${{z}_{3}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=3$, ${{z}_{2}}+{{z}_{3}}=0$ và ${{z}_{1}}{{z}_{2}}{{z}_{3}}=9\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)$. Gọi $A$, $B$, $C$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$, ${{z}_{3}}$. Diện tích tam giác $ABC$ bằng
A. $\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$.
B. $\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$.
C. $9\sqrt{3}$.
D. $18$
A. $\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$.
B. $\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$.
C. $9\sqrt{3}$.
D. $18$
Ta có ${{z}_{2}}+{{z}_{3}}=0\Leftrightarrow {{z}_{2}}=-{{z}_{3}}\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{3}} \right|=3$ $\Rightarrow $ Tam giác $ABC$ nội tiếp $\left( O,3 \right)$.
Mà ${{z}_{2}}=-{{z}_{3}}$ nên $B$ đối xứng với $C$ qua $O$ hay $BC$ là đường kính $\left( O,3 \right)$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và $BC=6$.
Ta có ${{z}_{1}}{{z}_{2}}{{z}_{3}}=9\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|\left| {{z}_{2}} \right|\left| {{z}_{3}} \right|=9\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=3$.
Ta có ${{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=2\left( {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right)\Rightarrow AB=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=3\sqrt{3}\Rightarrow AC=3\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$.
Mà ${{z}_{2}}=-{{z}_{3}}$ nên $B$ đối xứng với $C$ qua $O$ hay $BC$ là đường kính $\left( O,3 \right)$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và $BC=6$.
Ta có ${{z}_{1}}{{z}_{2}}{{z}_{3}}=9\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|\left| {{z}_{2}} \right|\left| {{z}_{3}} \right|=9\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=3$.
Ta có ${{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=2\left( {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right)\Rightarrow AB=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=3\sqrt{3}\Rightarrow AC=3\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$.
Đáp án A.