Google
Câu hỏi: Cho các số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-1-i \right|=\sqrt{2}$, $\left| \overline{{{z}_{2}}} \right|=\left| {{z}_{2}}+1+i \right|$ và $\dfrac{{{z}_{2}}-{{z}_{1}}}{1-2i}$ là số thực.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức $P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$.
A. $\sqrt{5}$.
B. $2\sqrt{5}$.
C. $5\sqrt{5}$.
D. $3\sqrt{5}$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức $P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$.
A. $\sqrt{5}$.
B. $2\sqrt{5}$.
C. $5\sqrt{5}$.
D. $3\sqrt{5}$.
Đặt ${{z}_{1}}=a+bi;{{z}_{2}}=c+di$ với $a,b,c,d\in \mathbb{R}$.
$\left| {{z}_{1}}-1-i \right|=\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}=2\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2a+2b$. (1)
$\left| \overline{{{z}_{2}}} \right|=\left| {{z}_{2}}+1+i \right|\Leftrightarrow {{c}^{2}}+{{d}^{2}}={{\left( c+1 \right)}^{2}}+{{\left( d+1 \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow c+d+1=0$ $\Leftrightarrow c=-d-1$.
$\dfrac{{{z}_{2}}-{{z}_{1}}}{1-2i}$ là số thực $\Leftrightarrow \dfrac{{{z}_{2}}-{{z}_{1}}}{1-2i}=\dfrac{\overline{{{z}_{2}}}-\overline{{{z}_{1}}}}{1+2i}$ $\Leftrightarrow \left( {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right)\left( 1+2i \right)=\left( 1-2i \right)\left( \overline{{{z}_{2}}}-\overline{{{z}_{1}}} \right)$
$\Leftrightarrow {{z}_{2}}-{{z}_{1}}+2i{{z}_{2}}-2i{{z}_{1}}=\overline{{{z}_{2}}}-\overline{{{z}_{1}}}-2i\overline{{{z}_{2}}}+2i\overline{{{z}_{1}}}$ $\Leftrightarrow 2di-2bi+4ci-4ai=0$ $\Leftrightarrow 2a+b=2c+d$.
Thay $c=-d-1$ vào ta được $d=-2a-b-2$ và $c=2a+b+1$.
$P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\left| a+bi-\left( 2a+b+1 \right)+\left( 2a+b+2 \right)i \right|$ $=\sqrt{{{\left( a+b+1 \right)}^{2}}+{{\left( 2a+2b+2 \right)}^{2}}}=\sqrt{5}\left| a+b+1 \right|$.
Ta có ${{\left( a+b \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( 1+1 \right)=2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$.
Kết hợp với (1) ta được ${{\left( a+b \right)}^{2}}\le 4\left( a+b \right)\Leftrightarrow 0\le a+b\le 4$ $\Rightarrow 1\le a+b+1\le 5$.
Vậy $\sqrt{5}\le P\le 5\sqrt{5}$. Giá trị nhỏ nhất của $P$ là 5 khi ${{z}_{1}}=0;{{z}_{2}}=1-2i$.
$\left| {{z}_{1}}-1-i \right|=\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}=2\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2a+2b$. (1)
$\left| \overline{{{z}_{2}}} \right|=\left| {{z}_{2}}+1+i \right|\Leftrightarrow {{c}^{2}}+{{d}^{2}}={{\left( c+1 \right)}^{2}}+{{\left( d+1 \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow c+d+1=0$ $\Leftrightarrow c=-d-1$.
$\dfrac{{{z}_{2}}-{{z}_{1}}}{1-2i}$ là số thực $\Leftrightarrow \dfrac{{{z}_{2}}-{{z}_{1}}}{1-2i}=\dfrac{\overline{{{z}_{2}}}-\overline{{{z}_{1}}}}{1+2i}$ $\Leftrightarrow \left( {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right)\left( 1+2i \right)=\left( 1-2i \right)\left( \overline{{{z}_{2}}}-\overline{{{z}_{1}}} \right)$
$\Leftrightarrow {{z}_{2}}-{{z}_{1}}+2i{{z}_{2}}-2i{{z}_{1}}=\overline{{{z}_{2}}}-\overline{{{z}_{1}}}-2i\overline{{{z}_{2}}}+2i\overline{{{z}_{1}}}$ $\Leftrightarrow 2di-2bi+4ci-4ai=0$ $\Leftrightarrow 2a+b=2c+d$.
Thay $c=-d-1$ vào ta được $d=-2a-b-2$ và $c=2a+b+1$.
$P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\left| a+bi-\left( 2a+b+1 \right)+\left( 2a+b+2 \right)i \right|$ $=\sqrt{{{\left( a+b+1 \right)}^{2}}+{{\left( 2a+2b+2 \right)}^{2}}}=\sqrt{5}\left| a+b+1 \right|$.
Ta có ${{\left( a+b \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( 1+1 \right)=2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$.
Kết hợp với (1) ta được ${{\left( a+b \right)}^{2}}\le 4\left( a+b \right)\Leftrightarrow 0\le a+b\le 4$ $\Rightarrow 1\le a+b+1\le 5$.
Vậy $\sqrt{5}\le P\le 5\sqrt{5}$. Giá trị nhỏ nhất của $P$ là 5 khi ${{z}_{1}}=0;{{z}_{2}}=1-2i$.
Đáp án A.