Google
Câu hỏi: . Cho các số phức $w,z$ thỏa mãn $\left| w+i \right|=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$ và $5w=\left( 2+i \right)\left( z-4 \right).$ Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\left| z-1-2i \right|+\left| z-5-2i \right|$ bằng
A. $6\sqrt{7}.$
B. $4+2\sqrt{13}.$
C. $2\sqrt{53}.$
D. $4\sqrt{13}.$
A. $6\sqrt{7}.$
B. $4+2\sqrt{13}.$
C. $2\sqrt{53}.$
D. $4\sqrt{13}.$
Ta có $5w=\left( 2+i \right)\left( z-4 \right)\Leftrightarrow 5w+5i=\left( 2+i \right)z-8+i\Leftrightarrow 5\left| \text{w}+i \right|=\left| \left( 2+i \right)z-8+i \right|$
$\Leftrightarrow \left| \left( 2+i \right)z-8+i \right|=3\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| 2+i \right|.\left| z-\dfrac{8-i}{2+i} \right|=3\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| z-\dfrac{8-i}{2+i} \right|=3\Leftrightarrow \left| z-3+2i \right|=3$
$\Rightarrow $ Tập hợp điểm $M\left( z \right)$ là đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=9$, tâm $I\left( 3;-2 \right),R=3$.
Gọi $A\left( 1;2 \right),B\left( 5;2 \right)$ và $E\left( 3;2 \right)$ là trung điểm của AB suy ra $P=MA+MB$.
Lại có ${{\left( MA+MB \right)}^{2}}\le 2\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)=4M{{E}^{2}}+A{{B}^{2}}\Rightarrow P$ lớn nhất $\Leftrightarrow ME$ lớn nhất.
Mà $IE=4>R=3\to M{{E}_{\max }}=IE+R=7$. Vậy ${{P}_{\max }}=\sqrt{4M{{E}^{2}}+A{{B}^{2}}}=2\sqrt{53}$.
$\Leftrightarrow \left| \left( 2+i \right)z-8+i \right|=3\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| 2+i \right|.\left| z-\dfrac{8-i}{2+i} \right|=3\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| z-\dfrac{8-i}{2+i} \right|=3\Leftrightarrow \left| z-3+2i \right|=3$
$\Rightarrow $ Tập hợp điểm $M\left( z \right)$ là đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=9$, tâm $I\left( 3;-2 \right),R=3$.
Gọi $A\left( 1;2 \right),B\left( 5;2 \right)$ và $E\left( 3;2 \right)$ là trung điểm của AB suy ra $P=MA+MB$.
Lại có ${{\left( MA+MB \right)}^{2}}\le 2\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)=4M{{E}^{2}}+A{{B}^{2}}\Rightarrow P$ lớn nhất $\Leftrightarrow ME$ lớn nhất.
Mà $IE=4>R=3\to M{{E}_{\max }}=IE+R=7$. Vậy ${{P}_{\max }}=\sqrt{4M{{E}^{2}}+A{{B}^{2}}}=2\sqrt{53}$.
Đáp án C.