T

Cho các số phức w, z thỏa mãn $\left| \text{w}+i...

Câu hỏi: Cho các số phức w, z thỏa mãn $\left| \text{w}+i \right|=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$ và $5w=(2+i)(z-4)$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\left| z-1-2i \right|+\left| z-5-2i \right|$ bằng
A. $6\sqrt{7}$
B. $4+2\sqrt{13}$
C. $2\sqrt{53}$
D. $4\sqrt{13}$
image22.png

Gọi $z=x+yi$, với $x,y\in \mathbb{R}$
Khi đó $M(x;y)$ là điểm biểu diễn cho số phức z. Theo giả thiết, $5w=(2+i)(z-4)\Leftrightarrow 5(\text{w}+i)=(2+i)(z-4)+5i$
$\Leftrightarrow (2-i)(\text{w}+i)=z-3+2i\Leftrightarrow \left| z-3+2i \right|=3$. Suy ra $M(x;y)$ thuộc đường tròn $(C):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=9$.
Ta có $P=\left| z-1-2i \right|+\left| z-5-2i \right|=MA+MB$, với $A(1;2)$ và $B(5;2)$.
Gọi H là trung điểm của AB, ta có $H(3;2)$ và khi đó:
$P=MA+MB\le \sqrt{2\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)}$ hay $P\le \sqrt{4M{{H}^{2}}+A{{B}^{2}}}$.
Mặt khác, $MH\le KH$ với mọi $M\in (C)$ nên $P\le \sqrt{4K{{H}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{4{{\left( IH+R \right)}^{2}}+A{{B}^{2}}}=2\sqrt{53}$.
Vậy ${{P}_{\max }}=2\sqrt{53}$ khi $\left\{ \begin{aligned}
& M=K \\
& MA=MB \\
\end{aligned} \right. $ hay $ z=3-5i $ và $ \text{w}=\dfrac{3}{5}-\dfrac{11}{5}i$.
Đáp án C.
 

Quảng cáo

Back
Top