Google
Câu hỏi: Cho các số phức ${{\text{z}}_{1}}=-2+i, {{z}_{2}}=2+i$ và số phức $z$ thay đổi thỏa mãn ${{\left| z-{{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| z-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=16$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $\left| z \right|$. Giá trị của biểu thức ${{M}^{2}}-{{m}^{2}}$ bằng
A. $8.$
B. $11.$
C. $7.$
D. $15.$
A. $8.$
B. $11.$
C. $7.$
D. $15.$
Đặt $z=x+y i ; x, y \in \mathbb{R}$.
Gọi $M, A, B$ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức $z, z_{1}, z_{2}$.
Khi đó $M(x ; y), A(-2 ; 1) ; B(2 ; 1)$
$
\begin{aligned}
&\left|z-z_{1}\right|^{2}+\left|z-z_{2}\right|^{2}=16 \Leftrightarrow M A^{2}+M B^{2}=16 \\
&\Leftrightarrow(-2-x)^{2}+(1-y)^{2}+(2-x)^{2}+(1-y)^{2}=16 \\
&\Leftrightarrow 2 x^{2}+2 y^{2}-4 y-6=0 \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-2 y-3=0
\end{aligned}
$
Vậy tập hợp các điểm $M$ là đường tròn $(C)$ có tâm $I(0 ; 1) ; R=2$
$O I=1<R \Rightarrow O$ nằm trong đường tròn $(C)$.
$M=|z|_{\max }=O M_{\max }=O I+R=1+2=3 ; m=|z|_{\min }=O M_{\min }=|O I-R|=1$.
Vậy $M^{2}-m^{2}=3^{2}-1^{2}=8$.
Gọi $M, A, B$ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức $z, z_{1}, z_{2}$.
Khi đó $M(x ; y), A(-2 ; 1) ; B(2 ; 1)$
$
\begin{aligned}
&\left|z-z_{1}\right|^{2}+\left|z-z_{2}\right|^{2}=16 \Leftrightarrow M A^{2}+M B^{2}=16 \\
&\Leftrightarrow(-2-x)^{2}+(1-y)^{2}+(2-x)^{2}+(1-y)^{2}=16 \\
&\Leftrightarrow 2 x^{2}+2 y^{2}-4 y-6=0 \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-2 y-3=0
\end{aligned}
$
Vậy tập hợp các điểm $M$ là đường tròn $(C)$ có tâm $I(0 ; 1) ; R=2$
$O I=1<R \Rightarrow O$ nằm trong đường tròn $(C)$.
$M=|z|_{\max }=O M_{\max }=O I+R=1+2=3 ; m=|z|_{\min }=O M_{\min }=|O I-R|=1$.
Vậy $M^{2}-m^{2}=3^{2}-1^{2}=8$.
Đáp án A.