Google
Câu hỏi: Cho các số $p,q$ thỏa mãn các điều kiện: $p>1$, $q>1$, $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$ và các số dương $a,b$. Xét hàm số: $y={{x}^{p-1}}$ $\left( x>0 \right)$ có đồ thị là $\left( C \right)$. Gọi $\left( {{S}_{1}} \right)$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( C \right)$, trục hoành, đường thẳng $x=a$, Gọi $\left( {{S}_{2}} \right)$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( C \right)$, trục tung, đường thẳng $y=b$, Gọi $\left( S \right)$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, trục tung và hai đường thẳng $x=a$, $y=b$.
Khi so sánh ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}$ và $S$ ta nhận được bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức dưới đây?
A. $\dfrac{{{a}^{p}}}{p}+\dfrac{{{b}^{q}}}{q}\le ab$
B. $\dfrac{{{a}^{p-1}}}{p-1}+\dfrac{{{b}^{q-1}}}{q-1}\ge ab$.
C. $\dfrac{{{a}^{p+1}}}{p+1}+\dfrac{{{b}^{q+1}}}{q+1}\le ab$.
D. $\dfrac{{{a}^{p}}}{p}+\dfrac{{{b}^{q}}}{q}\ge ab$.
Khi so sánh ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}$ và $S$ ta nhận được bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức dưới đây?
A. $\dfrac{{{a}^{p}}}{p}+\dfrac{{{b}^{q}}}{q}\le ab$
B. $\dfrac{{{a}^{p-1}}}{p-1}+\dfrac{{{b}^{q-1}}}{q-1}\ge ab$.
C. $\dfrac{{{a}^{p+1}}}{p+1}+\dfrac{{{b}^{q+1}}}{q+1}\le ab$.
D. $\dfrac{{{a}^{p}}}{p}+\dfrac{{{b}^{q}}}{q}\ge ab$.
Ta có: $S\le {{S}_{1}}+{{S}_{2}}$.
${{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{a}{\left( {{x}^{p-1}} \right)\text{d}x}=\left. \left( \dfrac{{{x}^{p}}}{p} \right) \right|_{ 0}^{ a}=\dfrac{{{a}^{p}}}{p}$ ; ${{S}_{2}}=\int\limits_{0}^{b}{\left( {{y}^{\dfrac{1}{p-1}}} \right)\text{dy}}=\left. \left( \dfrac{{{y}^{\dfrac{1}{p-1}+1}}}{\dfrac{1}{p-1}+1} \right) \right|_{ 0}^{ b}=\left. \left( \dfrac{{{y}^{q}}}{q} \right) \right|_{ 0}^{ b}=\dfrac{{{b}^{q}}}{q}$.
Vì: $\dfrac{1}{p-1}+1=\dfrac{p}{p-1}=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{p}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{q}}=q$.
Vậy $\dfrac{{{a}^{p}}}{p}+\dfrac{{{b}^{q}}}{q}\ge ab$.
${{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{a}{\left( {{x}^{p-1}} \right)\text{d}x}=\left. \left( \dfrac{{{x}^{p}}}{p} \right) \right|_{ 0}^{ a}=\dfrac{{{a}^{p}}}{p}$ ; ${{S}_{2}}=\int\limits_{0}^{b}{\left( {{y}^{\dfrac{1}{p-1}}} \right)\text{dy}}=\left. \left( \dfrac{{{y}^{\dfrac{1}{p-1}+1}}}{\dfrac{1}{p-1}+1} \right) \right|_{ 0}^{ b}=\left. \left( \dfrac{{{y}^{q}}}{q} \right) \right|_{ 0}^{ b}=\dfrac{{{b}^{q}}}{q}$.
Vì: $\dfrac{1}{p-1}+1=\dfrac{p}{p-1}=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{p}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{q}}=q$.
Vậy $\dfrac{{{a}^{p}}}{p}+\dfrac{{{b}^{q}}}{q}\ge ab$.
Đáp án D.