Cho các số dương $x,y$ thỏa mãn ${{2}^{{{x}^{3}}-y+1}}=\dfrac{2x+y}{2{{x}^{3}}+4x+4}.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức...

Phương pháp:
- Sử dụng hàm đặc trưng, tìm biểu diễn ${{x}^{3}}$ theo $y.$
- Thế vào biểu thức $P,$ sử dụng BĐT Cô-si tìm GTNN của biểu thức $P.$
Cách giải:
Ta có ${{2}^{{{x}^{3}}-y+1}}=\dfrac{2x+y}{2{{x}^{3}}+4x+4}$
$\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{3}}+2x+2-2x-y-1}}=\dfrac{2x+y}{2{{x}^{3}}+4x+4}$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{2}^{{{x}^{3}}+2x+2}}}{{{2}^{2x+y}}.2}=\dfrac{2x+y}{2\left( {{x}^{3}}+2x+2 \right)}$
$\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{3}}+2x+2}}\left( {{x}^{3}}+2x+2 \right)={{2}^{2x+y}}.\left( 2x+y \right)\left( * \right)$
Xét $f\left( t \right)={{2}^{t}}.t,t>0$ ta có $f'\left( t \right)={{2}^{t}}+t{{.2}^{t}}.\ln 2>0;\forall t>0.$ Do đó hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$
Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow {{x}^{3}}+2x+2=2x+y\Rightarrow {{x}^{3}}=y-2.$
Khi đó $P=\dfrac{7}{y}+\dfrac{{{x}^{3}}}{7}=\dfrac{7}{y}+\dfrac{y-2}{7}=\dfrac{7}{y}+\dfrac{y}{7}-\dfrac{2}{7}\ge 2\sqrt{\dfrac{7}{y}.\dfrac{y}{7}}-\dfrac{2}{7}=\dfrac{12}{7}.$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{7}{y}=\dfrac{y}{7}\Leftrightarrow y=7$ (do $y>0$ )
Vậy ${{P}_{\min }}=\dfrac{12}{7}\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{5},y=7.$