Google
Câu hỏi: Cho các hàm số $y=f\left( x \right), y=f\left( f\left( x \right) \right), y=f\left( 4-2x \right)$ có đồ thị lần lượt là $\left( {{C}_{1}} \right), \left( {{C}_{2}} \right), \left( {{C}_{3}} \right)$. Đường thẳng $x=1$ cắt $\left( {{C}_{1}} \right), \left( {{C}_{2}} \right), \left( {{C}_{3}} \right)$ lần lượt tại $M, N, P$. Biết tiếp tuyến của $\left( {{C}_{1}} \right)$ tại $M$ có phương trình là $y=3x-1$, tiếp tuyến của $\left( {{C}_{2}} \right)$ tại $N$ có phương trình là $y=x+1$. Phương trình tiếp tuyến của $\left( {{C}_{3}} \right)$ tại $P$ là:
A. $y=-2x-4$.
B. $y=-\dfrac{2}{3}x-\dfrac{8}{3}$.
C. $y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{8}{3}$.
D. $y=-2x+4$.
A. $y=-2x-4$.
B. $y=-\dfrac{2}{3}x-\dfrac{8}{3}$.
C. $y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{8}{3}$.
D. $y=-2x+4$.
- Xét hàm số $y=f\left( x \right); {y}'={f}'\left( x \right)$
Theo giả thiết ta có $M\left( 1; f\left( 1 \right) \right)$, phương trình tiếp tuyến của $\left( {{C}_{1}} \right)$ tại $M$ :
$y-f\left( 1 \right)={f}'\left( 1 \right)\left( x-1 \right)$ mà theo giả thiết $y=3x-1\Rightarrow {f}'\left( 1 \right)=3$. $\left( 1 \right)$
Từ đó ta có: $y-f\left( 1 \right)=3\left( x-1 \right)\Leftrightarrow y=3x-3+f\left( 1 \right)\Rightarrow 3x-3+f\left( 1 \right)=3x-1$
$\Rightarrow f\left( 1 \right)=2$. $\left( 2 \right)$
- Xét hàm số $y=f\left( f\left( x \right) \right); {y}'={f}'\left( x \right).{f}'\left( f\left( x \right) \right)$.
Theo giả thiết ta có $N\left( 1; f\left( f\left( 1 \right) \right) \right)$, phương trình tiếp tuyến của $\left( {{C}_{2}} \right)$ tại $N$ :
$y-f\left( f\left( 1 \right) \right)={f}'\left( 1 \right).{f}'\left( f\left( 1 \right) \right).\left( x-1 \right)$
Mà theo giả thiết $y=x+1\Rightarrow {f}'\left( 1 \right).{f}'\left( f\left( 1 \right) \right)=1$. $\left( * \right)$
Từ đó ta có: $y-f\left( f\left( 1 \right) \right)=x-1\Leftrightarrow y=x-1+f\left( f\left( 1 \right) \right)$.
Theo $\left( 2 \right)\Rightarrow y=x-1+f\left( 2 \right)$.
Áp dụng giả thiết: $x-1+f\left( 2 \right)=x+1\Rightarrow f\left( 2 \right)=2$. $\left( 3 \right)$
Từ $\left( * \right)$ : ${f}'\left( 1 \right).{f}'\left( f\left( 1 \right) \right)=1$, theo $\left( 1 \right)\And \left( 2 \right)$ ta được:
$3.{f}'\left( 2 \right)=1\Rightarrow {f}'\left( 2 \right)=\dfrac{1}{3}$ $\left( 4 \right)$
- Xét hàm số $y=f\left( 4-2x \right); {y}'=-2.{f}'\left( 4-2x \right)$.
Ta có $P\left( 1; f\left( 4-2.1 \right) \right)\Rightarrow P\left( 1; f\left( 2 \right) \right)$, phương trình tiếp tuyến $\left( {{C}_{3}} \right)$ tại $P$ :
$y-f\left( 2 \right)=-2.{f}'\left( 2 \right).\left( x-1 \right)$, áp dụng $\left( 3 \right)\And \left( 4 \right)$ ta được:
$y-2=-2.\dfrac{1}{3}\left( x-1 \right)\Leftrightarrow y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{8}{3}$.
Theo giả thiết ta có $M\left( 1; f\left( 1 \right) \right)$, phương trình tiếp tuyến của $\left( {{C}_{1}} \right)$ tại $M$ :
$y-f\left( 1 \right)={f}'\left( 1 \right)\left( x-1 \right)$ mà theo giả thiết $y=3x-1\Rightarrow {f}'\left( 1 \right)=3$. $\left( 1 \right)$
Từ đó ta có: $y-f\left( 1 \right)=3\left( x-1 \right)\Leftrightarrow y=3x-3+f\left( 1 \right)\Rightarrow 3x-3+f\left( 1 \right)=3x-1$
$\Rightarrow f\left( 1 \right)=2$. $\left( 2 \right)$
- Xét hàm số $y=f\left( f\left( x \right) \right); {y}'={f}'\left( x \right).{f}'\left( f\left( x \right) \right)$.
Theo giả thiết ta có $N\left( 1; f\left( f\left( 1 \right) \right) \right)$, phương trình tiếp tuyến của $\left( {{C}_{2}} \right)$ tại $N$ :
$y-f\left( f\left( 1 \right) \right)={f}'\left( 1 \right).{f}'\left( f\left( 1 \right) \right).\left( x-1 \right)$
Mà theo giả thiết $y=x+1\Rightarrow {f}'\left( 1 \right).{f}'\left( f\left( 1 \right) \right)=1$. $\left( * \right)$
Từ đó ta có: $y-f\left( f\left( 1 \right) \right)=x-1\Leftrightarrow y=x-1+f\left( f\left( 1 \right) \right)$.
Theo $\left( 2 \right)\Rightarrow y=x-1+f\left( 2 \right)$.
Áp dụng giả thiết: $x-1+f\left( 2 \right)=x+1\Rightarrow f\left( 2 \right)=2$. $\left( 3 \right)$
Từ $\left( * \right)$ : ${f}'\left( 1 \right).{f}'\left( f\left( 1 \right) \right)=1$, theo $\left( 1 \right)\And \left( 2 \right)$ ta được:
$3.{f}'\left( 2 \right)=1\Rightarrow {f}'\left( 2 \right)=\dfrac{1}{3}$ $\left( 4 \right)$
- Xét hàm số $y=f\left( 4-2x \right); {y}'=-2.{f}'\left( 4-2x \right)$.
Ta có $P\left( 1; f\left( 4-2.1 \right) \right)\Rightarrow P\left( 1; f\left( 2 \right) \right)$, phương trình tiếp tuyến $\left( {{C}_{3}} \right)$ tại $P$ :
$y-f\left( 2 \right)=-2.{f}'\left( 2 \right).\left( x-1 \right)$, áp dụng $\left( 3 \right)\And \left( 4 \right)$ ta được:
$y-2=-2.\dfrac{1}{3}\left( x-1 \right)\Leftrightarrow y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{8}{3}$.
Đáp án C.