Google
Câu hỏi: Cho các hàm số $y=f\left( x \right),y=f\left( f\left( x \right) \right),y=f\left( 4-2x \right)$ có đồ thị lần lượt là $\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right),\left( {{C}_{3}} \right)$. Đường thẳng $x=1$ cắt $\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right),\left( {{C}_{3}} \right)$ lần lượt tại M, N, P. Biết tiếp tuyến của $\left( {{C}_{1}} \right)$ tại M có phương trình là $y=3x-1$, tiếp tuyến của $\left( {{C}_{2}} \right)$ tại N có phương trình là $y=x+1$. Phương trình tiếp tuyến của $\left( {{C}_{3}} \right)$ tại P là
A. $y=-2x-4$.
B. $y=-\dfrac{2}{3}x-\dfrac{8}{3}$.
C. $y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{8}{3}$.
D. $y=-2x+4$.
A. $y=-2x-4$.
B. $y=-\dfrac{2}{3}x-\dfrac{8}{3}$.
C. $y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{8}{3}$.
D. $y=-2x+4$.
Tiếp tuyến của $\left( {{C}_{1}} \right)$ tại M có phương trình là $d:y={f}'\left( 1 \right).\left( x-1 \right)+f\left( 1 \right)$.
Bài ra ta có $d:y=3x-1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( 1 \right)=3 \\
& f\left( 1 \right)-{f}'\left( 1 \right)=-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( 1 \right)=3 \\
& f\left( 1 \right)=2 \\
\end{aligned} \right.$
Từ $y=f\left( f\left( x \right) \right)\Rightarrow {y}'={f}'\left( x \right).{f}'\left( f\left( x \right) \right)$.
Tiếp tuyến của $\left( {{C}_{2}} \right)$ tại N có phương trình là
${d}':y={f}'\left( 1 \right).{f}'\left( f\left( 1 \right) \right).\left( x-1 \right)+f\left( f\left( 1 \right) \right)\Rightarrow y={3}'\left( 2 \right).\left( x-1 \right)+f\left( 2 \right)$.
Bài ra $d:y=x+1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3{f}'\left( 2 \right)=1 \\
& f\left( 2 \right)-3{f}'\left( 2 \right)=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( 2 \right)=\dfrac{1}{3} \\
& f\left( 2 \right)=2 \\
\end{aligned} \right.$
Từ $y=f\left( 4-2x \right)\Rightarrow {y}'=-2{f}'\left( 4-2x \right)$.
Phương trình tiếp tuyến của $\left( {{C}_{3}} \right)$ tại P là $y=-2{f}'\left( 2 \right).\left( x-1 \right)+f\left( 2 \right)$
$\Rightarrow y=-2.\dfrac{1}{3}\left( x-1 \right)+2\Rightarrow y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{8}{3}$.
Bài ra ta có $d:y=3x-1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( 1 \right)=3 \\
& f\left( 1 \right)-{f}'\left( 1 \right)=-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( 1 \right)=3 \\
& f\left( 1 \right)=2 \\
\end{aligned} \right.$
Từ $y=f\left( f\left( x \right) \right)\Rightarrow {y}'={f}'\left( x \right).{f}'\left( f\left( x \right) \right)$.
Tiếp tuyến của $\left( {{C}_{2}} \right)$ tại N có phương trình là
${d}':y={f}'\left( 1 \right).{f}'\left( f\left( 1 \right) \right).\left( x-1 \right)+f\left( f\left( 1 \right) \right)\Rightarrow y={3}'\left( 2 \right).\left( x-1 \right)+f\left( 2 \right)$.
Bài ra $d:y=x+1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3{f}'\left( 2 \right)=1 \\
& f\left( 2 \right)-3{f}'\left( 2 \right)=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( 2 \right)=\dfrac{1}{3} \\
& f\left( 2 \right)=2 \\
\end{aligned} \right.$
Từ $y=f\left( 4-2x \right)\Rightarrow {y}'=-2{f}'\left( 4-2x \right)$.
Phương trình tiếp tuyến của $\left( {{C}_{3}} \right)$ tại P là $y=-2{f}'\left( 2 \right).\left( x-1 \right)+f\left( 2 \right)$
$\Rightarrow y=-2.\dfrac{1}{3}\left( x-1 \right)+2\Rightarrow y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{8}{3}$.
Đáp án C.