Google
Câu hỏi: Cho các hàm số $f\left( x \right),g\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ thỏa mãn $m.f\left( x \right)+n.f\left( 1-x \right)=g\left( x \right)$ với m, n là các số thực khác 0 và $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{g\left( x \right)dx}=1$. Giá trị của $m+n$ là:
A. $m+n=0.$
B. $m+n=\dfrac{1}{2}.$
C. $m+n=1.$
D. $m+n=2.$
A. $m+n=0.$
B. $m+n=\dfrac{1}{2}.$
C. $m+n=1.$
D. $m+n=2.$
Từ giả thiết $m.f\left( x \right)+n.f\left( 1-x \right)=g\left( x \right)$, lấy tích phân hai vế ta được:
$\int\limits_{0}^{1}{\left[ m.f\left( x \right)+n.f\left( 1-x \right) \right]dx}=\int\limits_{0}^{1}{g\left( x \right)dx}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{m.f\left( x \right)dx}+\int\limits_{0}^{1}{n.f\left( 1-x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{g\left( x \right)dx}$.
Suy ra $m+n\int\limits_{0}^{1}{f\left( 1-x \right)dx}=1$ (do $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{g\left( x \right)dx}=1$ ) (1)
Xét tích phân $\int\limits_{0}^{1}{f\left( 1-x \right)dx}$.
Đặt $t=1-x$, suy ra $dt=-dx$.
Đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=1 \\
& x=1\Rightarrow t=0 \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó $\int\limits_{0}^{1}{f\left( 1-x \right)dx}=-\int\limits_{1}^{0}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=1\ \ \ \left( 2 \right)$.
Từ (1) và (2), suy ra $m+n=1$.
$\int\limits_{0}^{1}{\left[ m.f\left( x \right)+n.f\left( 1-x \right) \right]dx}=\int\limits_{0}^{1}{g\left( x \right)dx}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{m.f\left( x \right)dx}+\int\limits_{0}^{1}{n.f\left( 1-x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{g\left( x \right)dx}$.
Suy ra $m+n\int\limits_{0}^{1}{f\left( 1-x \right)dx}=1$ (do $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{g\left( x \right)dx}=1$ ) (1)
Xét tích phân $\int\limits_{0}^{1}{f\left( 1-x \right)dx}$.
Đặt $t=1-x$, suy ra $dt=-dx$.
Đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=1 \\
& x=1\Rightarrow t=0 \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó $\int\limits_{0}^{1}{f\left( 1-x \right)dx}=-\int\limits_{1}^{0}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=1\ \ \ \left( 2 \right)$.
Từ (1) và (2), suy ra $m+n=1$.
Đáp án C.