Google
Câu hỏi: Cho các đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{-1}$ và ${{d}_{2}}:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+3}{2}$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua $A\left( 1;0;2 \right)$, cắt ${{d}_{1}}$ và vuông góc với ${{d}_{2}}$.
A. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{-2}=\dfrac{z-2}{1}.$
B. $\dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z-2}{-1}.$
C. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z-2}{-4}.$
D. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{-2}=\dfrac{z-2}{1}.$
A. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{-2}=\dfrac{z-2}{1}.$
B. $\dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z-2}{-1}.$
C. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z-2}{-4}.$
D. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{-2}=\dfrac{z-2}{1}.$
Đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{-1}\Rightarrow {{d}_{1}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=-1+2t \\
& z=-t \\
\end{aligned} \right.$.
Đường thẳng ${{d}_{2}}:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+3}{2}$ có 1 vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=\left( 1;2;2 \right)$.
Gọi giao điểm của $\Delta $ với đường thẳng ${{d}_{1}}$ là $M\left( 1+t;-1+2t;-t \right)$.
Vì $\Delta $ đi qua $A\left( 1;0;2 \right)$ nên $\overrightarrow{AM}=\left( t;-1+2t;-t-2 \right)$ là 1 vectơ chỉ phương của $\Delta $.
Vì $\Delta \bot {{d}_{2}}\Rightarrow \overrightarrow{AM}\bot \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=0\Leftrightarrow 1.t+2.\left( -1+2t \right)+2.\left( -t-2 \right)=0\Leftrightarrow 3t-6=0\Leftrightarrow t=2$.
Suy ra $\overrightarrow{AM}=\left( 2;3;-4 \right)$.
Phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua $A\left( 1;0;2 \right)$ và nhận $\overrightarrow{AM}=\left( 2;3;-4 \right)$ làm vectơ chỉ phương là $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z-2}{-4}$.
& x=1+t \\
& y=-1+2t \\
& z=-t \\
\end{aligned} \right.$.
Đường thẳng ${{d}_{2}}:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+3}{2}$ có 1 vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=\left( 1;2;2 \right)$.
Gọi giao điểm của $\Delta $ với đường thẳng ${{d}_{1}}$ là $M\left( 1+t;-1+2t;-t \right)$.
Vì $\Delta $ đi qua $A\left( 1;0;2 \right)$ nên $\overrightarrow{AM}=\left( t;-1+2t;-t-2 \right)$ là 1 vectơ chỉ phương của $\Delta $.
Vì $\Delta \bot {{d}_{2}}\Rightarrow \overrightarrow{AM}\bot \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=0\Leftrightarrow 1.t+2.\left( -1+2t \right)+2.\left( -t-2 \right)=0\Leftrightarrow 3t-6=0\Leftrightarrow t=2$.
Suy ra $\overrightarrow{AM}=\left( 2;3;-4 \right)$.
Phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua $A\left( 1;0;2 \right)$ và nhận $\overrightarrow{AM}=\left( 2;3;-4 \right)$ làm vectơ chỉ phương là $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z-2}{-4}$.
Đáp án C.