Google
Câu hỏi: Cho biểu thức $P={{2}^{x}}+{{2}^{\sqrt{1-4{{y}^{2}}}}}$ trong đó x, y là 2 số thực thỏa mãn $26{{y}^{3}}+3\left( 2y-x \right)-{{x}^{3}}=3xy\left( x+y \right)$. Biết rằng giá trị lớn nhất của P có dạng $a.{{b}^{\dfrac{1}{\sqrt{c}}}}$ với a, b, $c\in \mathbb{N}$. Giá trị của biểu thức $a+b-c$ là
A. 3.
B. 2.
C. 4.
D. 5.
A. 3.
B. 2.
C. 4.
D. 5.
Ta có: $26{{y}^{3}}+3\left( 2y-x \right)-{{x}^{3}}=3xy\left( x+y \right)\Leftrightarrow {{\left( 3y \right)}^{3}}+3\left( 3y \right)={{\left( x+y \right)}^{3}}+3\left( x+y \right)$ $\left( 1 \right)$
Dễ thấy $h\left( t \right)={{t}^{3}}+3t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow 3y=x+y\Leftrightarrow 2y=x\Rightarrow P={{2}^{x}}+{{2}^{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}$, $-1\le x\le 1$
${P}'={{2}^{x}}\ln 2-\dfrac{x}{\sqrt{1-x}}{{2}^{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}\ln 2$. Nếu $-1<x\le 0$ thì ${P}'>0$.
Xét $0<x<1$ : Ta có: ${P}'=0\Leftrightarrow \dfrac{{{2}^{x}}}{x}=\dfrac{{{2}^{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}\Leftrightarrow g\left( x \right)=g\left( \sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)$ $\left( * \right)$
Xét $g\left( t \right)=\dfrac{{{2}^{t}}}{t}$, $t\in \left( 0;1 \right)$ có ${g}'\left( t \right)=\dfrac{{{2}^{t}}\ln 2}{{{t}^{2}}}\left( t-\dfrac{1}{\ln 2} \right)<0$, $\forall t\in \left( 0;1 \right)$ hay $y=g\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left( 0;1 \right)$. Khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow x=\sqrt{1-{{x}^{2}}}\Rightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
Suy ra $\max P=\max \left\{ P\left( -1 \right);P\left( 1 \right);P\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) \right\}={{2.2}^{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}}$. Vậy $a=b=c=2\Rightarrow a+b-c=2$.
Dễ thấy $h\left( t \right)={{t}^{3}}+3t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow 3y=x+y\Leftrightarrow 2y=x\Rightarrow P={{2}^{x}}+{{2}^{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}$, $-1\le x\le 1$
${P}'={{2}^{x}}\ln 2-\dfrac{x}{\sqrt{1-x}}{{2}^{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}\ln 2$. Nếu $-1<x\le 0$ thì ${P}'>0$.
Xét $0<x<1$ : Ta có: ${P}'=0\Leftrightarrow \dfrac{{{2}^{x}}}{x}=\dfrac{{{2}^{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}\Leftrightarrow g\left( x \right)=g\left( \sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)$ $\left( * \right)$
Xét $g\left( t \right)=\dfrac{{{2}^{t}}}{t}$, $t\in \left( 0;1 \right)$ có ${g}'\left( t \right)=\dfrac{{{2}^{t}}\ln 2}{{{t}^{2}}}\left( t-\dfrac{1}{\ln 2} \right)<0$, $\forall t\in \left( 0;1 \right)$ hay $y=g\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left( 0;1 \right)$. Khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow x=\sqrt{1-{{x}^{2}}}\Rightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
Suy ra $\max P=\max \left\{ P\left( -1 \right);P\left( 1 \right);P\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) \right\}={{2.2}^{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}}$. Vậy $a=b=c=2\Rightarrow a+b-c=2$.
Đáp án B.