Cho biểu thức $P = 2^{x} + 2^{\sqrt{1 - 4 y^{2}}}$ trong đó...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Cho biểu thức

P = 2^{x} + 2^{\sqrt{1 - 4 y^{2}}}

trong đó x, y là 2 số thực thỏa mãn

26 y^{3} + 3 (2 y - x) - x^{3} = 3 x y (x + y)

. Biết rằng giá trị lớn nhất của P có dạng

a . b^{\frac{1}{\sqrt{c}}}

với a, b,

c \in N

. Giá trị của biểu thức

a + b - c

là
A. 3.
B. 2.
C. 4.
D. 5.

Ta có:

26 y^{3} + 3 (2 y - x) - x^{3} = 3 x y (x + y) \Leftrightarrow {(3 y)}^{3} + 3 (3 y) = {(x + y)}^{3} + 3 (x + y)

(1)

Dễ thấy

h (t) = t^{3} + 3 t

đồng biến trên

R

nên

(1) \Leftrightarrow 3 y = x + y \Leftrightarrow 2 y = x \Rightarrow P = 2^{x} + 2^{\sqrt{1 - x^{2}}}

,

- 1 \leq x \leq 1

P^{'} = 2^{x} \ln 2 - \frac{x}{\sqrt{1 - x}} 2^{\sqrt{1 - x^{2}}} \ln 2

. Nếu

- 1 < x \leq 0

thì

P^{'} > 0

.
Xét

0 < x < 1

: Ta có:

P^{'} = 0 \Leftrightarrow \frac{2^{x}}{x} = \frac{2^{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} \Leftrightarrow g (x) = g (\sqrt{1 - x^{2}})

(*)

Xét

g (t) = \frac{2^{t}}{t}

,

t \in (0; 1)

có

g^{'} (t) = \frac{2^{t} \ln 2}{t^{2}} (t - \frac{1}{\ln 2}) < 0

,

\forall t \in (0; 1)

hay

y = g (t)

nghịch biến trên

(0; 1)

. Khi đó

(*) \Leftrightarrow x = \sqrt{1 - x^{2}} \Rightarrow x = \frac{1}{\sqrt{2}}

Suy ra

max P = max {P (- 1); P (1); P (\frac{1}{\sqrt{2}})} = {2.2}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}

. Vậy

a = b = c = 2 \Rightarrow a + b - c = 2

.

Đáp án B.

Cho biểu thức P=2x+21−4y2 trong đó...