Google
Câu hỏi: Cho biết $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{a{{x}^{2}}+1}-bx-2}{{{x}^{3}}-3x+2}\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ có kết quả là một số thực. Giá trị của biểu thức ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ bằng
A. $\dfrac{45}{16}.$
B. $\dfrac{9}{4}.$
C. $\dfrac{25}{16}.$
D. $\dfrac{19}{9}.$
A. $\dfrac{45}{16}.$
B. $\dfrac{9}{4}.$
C. $\dfrac{25}{16}.$
D. $\dfrac{19}{9}.$
Ta có ${{x}^{3}}-3x+2={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+2 \right)\Rightarrow L=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{a{{x}^{2}}+1}-bx-2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+2 \right)}.$
Để $L\in \mathbb{R}\Rightarrow f\left( x \right)=\sqrt{a{{x}^{2}}+1}-bx-2$ chia hết cho ${{\left( x-1 \right)}^{2}}$, tức $f\left( x \right)$ phải có nghiệm kép
$x=1\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( 1 \right)=0 \\
& {f}'\left( 1 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{a+1}-b-2=0 \\
& \dfrac{a}{\sqrt{a+1}}-b=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{3}{4} \\
& b=-\dfrac{3}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=\dfrac{45}{16}.$
Để $L\in \mathbb{R}\Rightarrow f\left( x \right)=\sqrt{a{{x}^{2}}+1}-bx-2$ chia hết cho ${{\left( x-1 \right)}^{2}}$, tức $f\left( x \right)$ phải có nghiệm kép
$x=1\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( 1 \right)=0 \\
& {f}'\left( 1 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{a+1}-b-2=0 \\
& \dfrac{a}{\sqrt{a+1}}-b=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{3}{4} \\
& b=-\dfrac{3}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=\dfrac{45}{16}.$
Đáp án A.