Google
Câu hỏi: Cho biết $\int_1^{\mathrm{e}} \dfrac{\sqrt{\ln x+3}}{x} \mathrm{~d} x=\dfrac{a}{3}+b \sqrt{3}$, với $a, b$ là các số nguyên. Giá trị của biểu thức $\dfrac{1}{2^b}+\log _2 a$ bằng
A. 8 .
B. 6 .
C. -1 .
D. $\dfrac{7}{2}$.
A. 8 .
B. 6 .
C. -1 .
D. $\dfrac{7}{2}$.
$I=\int_1^{\mathrm{e}} \dfrac{\sqrt{\ln x+3}}{x} \mathrm{~d} x$
Đặt $t=\sqrt{\ln x+3} \Rightarrow 2 t \mathrm{~d} t=\dfrac{1}{x} \mathrm{~d} x$. Với $x=1 \Rightarrow t=\sqrt{3}$
$x=\mathrm{e} \Rightarrow t=2$
Ta có: $I=\int_{\sqrt{3}}^2 2 t^2 \mathrm{dt}=\left.\dfrac{2 t^3}{3}\right|_{\sqrt{3}} ^2=\dfrac{16}{3}-2 \sqrt{3}$. Suy ra $a=16, b=-2$.
Vậy $\dfrac{1}{2^b}+\log _2 a=8$.
Đặt $t=\sqrt{\ln x+3} \Rightarrow 2 t \mathrm{~d} t=\dfrac{1}{x} \mathrm{~d} x$. Với $x=1 \Rightarrow t=\sqrt{3}$
$x=\mathrm{e} \Rightarrow t=2$
Ta có: $I=\int_{\sqrt{3}}^2 2 t^2 \mathrm{dt}=\left.\dfrac{2 t^3}{3}\right|_{\sqrt{3}} ^2=\dfrac{16}{3}-2 \sqrt{3}$. Suy ra $a=16, b=-2$.
Vậy $\dfrac{1}{2^b}+\log _2 a=8$.
Đáp án A.
