Google
Câu hỏi: Cho biết $\int_0^1 \dfrac{x^2 e^x}{(x+2)^2} \mathrm{~d} x=\dfrac{a}{b} \cdot e+c$ với $a, c$ là các số nguyên, $b$ là số nguyên dương và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a-b+c$.
A. -3 .
B. 0 .
C. 2 .
D. 3 .
A. -3 .
B. 0 .
C. 2 .
D. 3 .
Đặt $t=x+2 \Rightarrow \mathrm{d} t=\mathrm{d} x$, đổi cận $x=0 \Rightarrow t=2, x=1 \Rightarrow t=3$.
Ta có $I=\int_0^1 \dfrac{x^2 \mathrm{e}^x}{(x+2)^2} \mathrm{~d} x=\int_2^3 \dfrac{(t-2)^2 \mathrm{e}^{t-2}}{t^2} \mathrm{~d} t=\int_2^3\left(1-\dfrac{4}{t}+\dfrac{4}{t^2}\right) \mathrm{e}^{t-2} \mathrm{~d} t=\int_2^3 \mathrm{e}^{t-2} \mathrm{~d} t+$ $\int_2^3\left(-\dfrac{4}{t}+\dfrac{4}{t^2}\right) \mathrm{e}^{t-2} \mathrm{~d} t$
+ Tính $I_1=\int_2^3 \mathrm{e}^{t-2} \mathrm{~d} t=\left.\mathrm{e}^{t-2}\right|_2 ^3=\mathrm{e}-1$.
+ Tính $I_2=\int_2^3\left(-\dfrac{4}{t}+\dfrac{4}{t^2}\right) \mathrm{e}^{t-2} \mathrm{~d} t$.
Đặt $u=\dfrac{4}{t} \Rightarrow \mathrm{d} u=-\dfrac{4}{t^2} \mathrm{~d} t, \mathrm{~d} v=\mathrm{e}^{t-2} \mathrm{~d} t \Rightarrow v=\mathrm{e}^{t-2}$
Ta có $\int_2^3 \dfrac{4}{t} \mathrm{e}^{t-2} \mathrm{~d} t=\left.\dfrac{4}{t} \cdot \mathrm{e}^{t-2}\right|_2 ^3+\int_2^3 \dfrac{4}{t^2} \mathrm{e}^{t-2} \mathrm{~d} t \Rightarrow I_2=\int_2^3\left(-\dfrac{4}{t}+\dfrac{4}{t^2}\right) \mathrm{e}^{t-2} \mathrm{~d} t=-\dfrac{4}{3} \mathrm{e}+2$.
Suy ra $I=\dfrac{-1}{3} \mathrm{e}+1 \Rightarrow a=-1, b=3, c=1$. Vậy $a-b+c=3$.
Ta có $I=\int_0^1 \dfrac{x^2 \mathrm{e}^x}{(x+2)^2} \mathrm{~d} x=\int_2^3 \dfrac{(t-2)^2 \mathrm{e}^{t-2}}{t^2} \mathrm{~d} t=\int_2^3\left(1-\dfrac{4}{t}+\dfrac{4}{t^2}\right) \mathrm{e}^{t-2} \mathrm{~d} t=\int_2^3 \mathrm{e}^{t-2} \mathrm{~d} t+$ $\int_2^3\left(-\dfrac{4}{t}+\dfrac{4}{t^2}\right) \mathrm{e}^{t-2} \mathrm{~d} t$
+ Tính $I_1=\int_2^3 \mathrm{e}^{t-2} \mathrm{~d} t=\left.\mathrm{e}^{t-2}\right|_2 ^3=\mathrm{e}-1$.
+ Tính $I_2=\int_2^3\left(-\dfrac{4}{t}+\dfrac{4}{t^2}\right) \mathrm{e}^{t-2} \mathrm{~d} t$.
Đặt $u=\dfrac{4}{t} \Rightarrow \mathrm{d} u=-\dfrac{4}{t^2} \mathrm{~d} t, \mathrm{~d} v=\mathrm{e}^{t-2} \mathrm{~d} t \Rightarrow v=\mathrm{e}^{t-2}$
Ta có $\int_2^3 \dfrac{4}{t} \mathrm{e}^{t-2} \mathrm{~d} t=\left.\dfrac{4}{t} \cdot \mathrm{e}^{t-2}\right|_2 ^3+\int_2^3 \dfrac{4}{t^2} \mathrm{e}^{t-2} \mathrm{~d} t \Rightarrow I_2=\int_2^3\left(-\dfrac{4}{t}+\dfrac{4}{t^2}\right) \mathrm{e}^{t-2} \mathrm{~d} t=-\dfrac{4}{3} \mathrm{e}+2$.
Suy ra $I=\dfrac{-1}{3} \mathrm{e}+1 \Rightarrow a=-1, b=3, c=1$. Vậy $a-b+c=3$.
Đáp án A.