Cho biết $\int\limits_{0}^{\pi }{{{\left( x+\cos x...

The Professor · 19/12/21

Câu hỏi: Cho biết

\int_{0}^{π} {(x + \cos x)}^{2} d x = \frac{π^{3}}{a} + \frac{π}{b} - c

; với

a, b, c

là những số nguyên dương. Khi đó giá trị của biểu thức

T = a + b + c

bằng
A.

11.

B.

10.

C.

9.

D.

12.

Ta có

I = \int_{0}^{π} {(x + \cos x)}^{2} d x = \int_{0}^{π} (x^{2} + 2 x \cos x + \cos^{2} x) d x = \int_{0}^{π} x^{2} d x + 2 \int_{0}^{π} x \cos x d x + \int_{0}^{π} \cos^{2} x d x

.
Với

A = \int_{0}^{π} x^{2} d x = \frac{π^{3}}{3}

.
Với

B = \int_{0}^{π} x \cos x d x

sử dụng từng phần đặt

{\begin{aligned} u = x \\ d v = \cos x d x \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} d u = d x \\ v = \sin x \end{aligned}

.
Suy ra

B = {(x \sin x) |}_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \sin x d x = {\cos x |}_{0}^{π} = - 2

Với

C = \int_{0}^{π} \cos^{2} x d x = \int_{0}^{π} {\frac{1 + \cos 2 x}{2} d x = [\frac{x}{2} + \frac{\sin 2 x}{4}] |}_{0}^{π} = \frac{π}{2}

.
Suy ra

I = A + 2 B + C = \frac{π^{3}}{3} - 4 + \frac{π}{2} \equiv \frac{π^{3}}{a} + \frac{π}{b} - c \Rightarrow a = 3, b = 2, c = 4 \Rightarrow T = a + b + c = 9

.

Đáp án C.