Google
Câu hỏi: Cho bất phương trình $m \cdot 3^{x+1}+(3 m+2)(4-\sqrt{7})^x+(4+\sqrt{7})^x>0$, với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x \in(-\infty ; 0)$.
A. $m>\dfrac{2-2 \sqrt{3}}{3}$.
B. $m \geq \dfrac{2-2 \sqrt{3}}{3}$.
C. $m \geq-\dfrac{2-2 \sqrt{3}}{3}$.
D. $m>\dfrac{2+2 \sqrt{3}}{3}$.
A. $m>\dfrac{2-2 \sqrt{3}}{3}$.
B. $m \geq \dfrac{2-2 \sqrt{3}}{3}$.
C. $m \geq-\dfrac{2-2 \sqrt{3}}{3}$.
D. $m>\dfrac{2+2 \sqrt{3}}{3}$.
$m \cdot 3^{x+1}+(3 m+2)(4-\sqrt{7})^x+(4+\sqrt{7})^x>0 \Leftrightarrow 3 m+(3 m+2) \cdot\left(\dfrac{4-\sqrt{7}}{3}\right)^x+\left(\dfrac{4+\sqrt{7}}{3}\right)^x>0$
Đặt $t=\left(\dfrac{4+\sqrt{7}}{3}\right)^x$
Khi $x<0$ thì $0<t<1$
BPT trở thành $3 m+\dfrac{3 m+2}{t}+t>0, \forall t \in(0 ; 1) \Leftrightarrow 3 m>\dfrac{-t^2-2}{t+1}, \forall t \in(0 ; 1)$
Xét $f(t)=\dfrac{-t^2-2}{t+1}, \forall t \in(0 ; 1)$
$
f^{\prime}(t)=\dfrac{-t^2-2 t+2}{t+1}=0 \Leftrightarrow t=\sqrt{3}-1
$
Vậy ycbt $\Leftrightarrow 3 m>2-2 \sqrt{3} \Leftrightarrow m>\dfrac{2-2 \sqrt{3}}{3}$.
Đặt $t=\left(\dfrac{4+\sqrt{7}}{3}\right)^x$
Khi $x<0$ thì $0<t<1$
BPT trở thành $3 m+\dfrac{3 m+2}{t}+t>0, \forall t \in(0 ; 1) \Leftrightarrow 3 m>\dfrac{-t^2-2}{t+1}, \forall t \in(0 ; 1)$
Xét $f(t)=\dfrac{-t^2-2}{t+1}, \forall t \in(0 ; 1)$
$
f^{\prime}(t)=\dfrac{-t^2-2 t+2}{t+1}=0 \Leftrightarrow t=\sqrt{3}-1
$
Đáp án A.