Google
Câu hỏi: Cho bất phương trình $m{{.9}^{x}}+\left( m-1 \right){{.16}^{x}}+4\left( m-1 \right){{.12}^{x}}>0$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc khoảng $\left( \text{0 };\text{ 10} \right)$ để bất phương trình đã cho có tập nghiệm là $\mathbb{R}$.
A. $0$.
B. $8$.
C. $1$.
D. $9$.
A. $0$.
B. $8$.
C. $1$.
D. $9$.
$m{{.9}^{x}}+\left( m-1 \right){{.16}^{x}}+4\left( m-1 \right){{.12}^{x}}>0\Leftrightarrow \left( m-1 \right){{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{2x}}+4\left( m-1 \right){{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{x}}+m>0\left( 1 \right)$
Đặt $t={{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{x}},t>0\forall x$. Bất phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành $\left( m-1 \right){{t}^{2}}+4\left( m-1 \right)t+m>0$
Bất phương trình $\left( 1 \right)$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $\left( m-1 \right){{t}^{2}}+4\left( m-1 \right)t+m>0,\forall t>0$
$\Leftrightarrow m>\dfrac{{{t}^{2}}+4t}{{{t}^{2}}+4t+1}\text{ , }\forall t>0\left( 2 \right)$
Xét hàm số $y=f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+4t}{{{t}^{2}}+4t+1}$ với $t>0$, ta có ${y}'=\dfrac{2t+4}{{{\left( {{t}^{2}}+4t+1 \right)}^{2}}}>0\text{ , }\forall t>0$
Bảng biến thiên
Bất phương trình $\left( 2 \right)$ được thỏa mãn khi và chỉ khi đường thẳng $y=m$ luôn nằm trên mọi
điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( t \right)$. Từ BBT suy ra $m\ge 1$
Mà $m$ là số nguyên thuộc khoảng $\left( \text{0 };\text{ 10} \right)$ nên $m\in \left\{ 1\text{ ; 2 ; 3 ;}\text{. }\text{. }\text{. ; 9 } \right\}$
Đặt $t={{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{x}},t>0\forall x$. Bất phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành $\left( m-1 \right){{t}^{2}}+4\left( m-1 \right)t+m>0$
Bất phương trình $\left( 1 \right)$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $\left( m-1 \right){{t}^{2}}+4\left( m-1 \right)t+m>0,\forall t>0$
$\Leftrightarrow m>\dfrac{{{t}^{2}}+4t}{{{t}^{2}}+4t+1}\text{ , }\forall t>0\left( 2 \right)$
Xét hàm số $y=f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+4t}{{{t}^{2}}+4t+1}$ với $t>0$, ta có ${y}'=\dfrac{2t+4}{{{\left( {{t}^{2}}+4t+1 \right)}^{2}}}>0\text{ , }\forall t>0$
Bảng biến thiên
Bất phương trình $\left( 2 \right)$ được thỏa mãn khi và chỉ khi đường thẳng $y=m$ luôn nằm trên mọi
điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( t \right)$. Từ BBT suy ra $m\ge 1$
Mà $m$ là số nguyên thuộc khoảng $\left( \text{0 };\text{ 10} \right)$ nên $m\in \left\{ 1\text{ ; 2 ; 3 ;}\text{. }\text{. }\text{. ; 9 } \right\}$
Đáp án D.