Cho bất phương trình $m{{.9}^{2{{x}^{2}}-x}}-\left( 2m+1...

$m{{.9}^{2{{x}^{2}}-x}}-\left( 2m+1 \right){{6}^{2{{x}^{2}}-x}}+m{{4}^{2{{x}^{2}}-x}}\le 0$
$\Leftrightarrow m.\dfrac{{{9}^{2{{x}^{2}}-x}}}{{{4}^{2{{x}^{2}}-x}}}-\left( 2m+1 \right).\dfrac{{{6}^{2{{x}^{2}}-x}}}{{{4}^{2{{x}^{2}}-x}}}+m\le 0\Leftrightarrow m{{\left[ {{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2{{x}^{2}}-x}} \right]}^{2}}-\left( 2m+1 \right){{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2{{x}^{2}}-x}}+m\le 0$
Đặt ${{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2{{x}^{2}}-x}}=t$ với $x\ge \dfrac{1}{2}.$ Xét hàm số $f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-x$ ta có bảng biến thiên:
$\Rightarrow f\left( x \right)\ge 0\forall x\ge \dfrac{1}{2}\Rightarrow t\ge {{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{0}}=1$.
Khi đó bất phương trình trở thành $m{{t}^{2}}-\left( 2m+1 \right)t+m\le 0\forall t\ge 1$
$\Leftrightarrow m\left( {{t}^{2}}-2t+1 \right)-t\le 0\forall t\ge 1\Leftrightarrow m{{\left( t-1 \right)}^{2}}-t\le 0\forall t\ge 1$
Khi $t=1$ ta có $-1\le 0$ luôn đúng.
Xét khi $t>1\Rightarrow m\le \dfrac{t}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}=g\left( t \right)\forall t>1\Leftrightarrow m\le \underset{t>1}{\mathop{\min }} g\left( t \right)$
Ta có ${g}'\left( t \right)=\dfrac{{{\left( t-1 \right)}^{2}}-t.2.\left( t-1 \right)}{{{\left( t-1 \right)}^{4}}}=\dfrac{t-1-2t}{{{\left( t-1 \right)}^{3}}}=0\Leftrightarrow t=-1$
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y=f\left( x \right)$ ta có $m\le \underset{t>1}{\mathop{\min }} g\left( t \right)\Leftrightarrow m\le 0.$