Google
Câu hỏi: Cho bất phương trình $m{{.3}^{x+1}}+(3m+2).{{\left( 4-\sqrt{7} \right)}^{x}}+{{\left( 4+\sqrt{7} \right)}^{x}}\ge 0$
với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên $m \in(-2022 ; 2023)$ để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x \in(-\infty ; 0]$.
A. $2023$.
B. $2022.$
C. $2021.$
D. $2024.$
với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên $m \in(-2022 ; 2023)$ để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x \in(-\infty ; 0]$.
A. $2023$.
B. $2022.$
C. $2021.$
D. $2024.$
Leftrightarrow {{\left( \frac{4+\sqrt{7}}{3} \right)}^{x}}+\left( 3m+2 \right){{\left( \frac{4-\sqrt{7}}{3} \right)}^{x}}+3m>0$
Đăt $t={{\left( \frac{4+\sqrt{7}}{3} \right)}^{x}}\Rightarrow \frac{1}{t}={{\left( \frac{4-\sqrt{7}}{3} \right)}^{x}}.$ Do $x\in (-\infty ;0]\Rightarrow t\in \left( 0;1 \right]$.
Ta được bất phương trình ${{t}^{2}}+3mt+\left( 3m+2 \right)>0$
Bài toán đưa về tìm $m$ nguyên $m \in(-2022 ; 2023)$ để bất phương trình ${{t}^{2}}+3mt+\left( 3m+2 \right)>0$ đã cho nghiệm đúng với mọi $t\in (0;1]$.
${{t}^{2}}+3mt+\left( 3m+2 \right)>0\Leftrightarrow -3m<\frac{{{t}^{2}}+2}{t+1},\left( t\in \left( 0;1 \right] \right).$
Đặt $h\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}+2}{t+1}\Rightarrow {h}'\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}+2t-2}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}\Rightarrow {h}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& t=-1+\sqrt{3}\in \left( 0;1 \right] \\
& t=-1-\sqrt{3}\notin \left( 0;1 \right] \\
\end{align} \right.$
Ta có bảng biến thiên
Vậy để bất phương trình luôn đúng với mọi $t\in (0;1]$ điều kiện là $-3m<-2+4\sqrt{3}\Rightarrow m>\frac{2-4\sqrt{3}}{3}\approx -1.64.$
Do $m$ nguyên $m \in(-2022 ; 2023)$ nên có $2024$ giá trị thỏa mãn.
Đăt $t={{\left( \frac{4+\sqrt{7}}{3} \right)}^{x}}\Rightarrow \frac{1}{t}={{\left( \frac{4-\sqrt{7}}{3} \right)}^{x}}.$ Do $x\in (-\infty ;0]\Rightarrow t\in \left( 0;1 \right]$.
Ta được bất phương trình ${{t}^{2}}+3mt+\left( 3m+2 \right)>0$
Bài toán đưa về tìm $m$ nguyên $m \in(-2022 ; 2023)$ để bất phương trình ${{t}^{2}}+3mt+\left( 3m+2 \right)>0$ đã cho nghiệm đúng với mọi $t\in (0;1]$.
${{t}^{2}}+3mt+\left( 3m+2 \right)>0\Leftrightarrow -3m<\frac{{{t}^{2}}+2}{t+1},\left( t\in \left( 0;1 \right] \right).$
Đặt $h\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}+2}{t+1}\Rightarrow {h}'\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}+2t-2}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}\Rightarrow {h}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& t=-1+\sqrt{3}\in \left( 0;1 \right] \\
& t=-1-\sqrt{3}\notin \left( 0;1 \right] \\
\end{align} \right.$
Ta có bảng biến thiên
Vậy để bất phương trình luôn đúng với mọi $t\in (0;1]$ điều kiện là $-3m<-2+4\sqrt{3}\Rightarrow m>\frac{2-4\sqrt{3}}{3}\approx -1.64.$
Do $m$ nguyên $m \in(-2022 ; 2023)$ nên có $2024$ giá trị thỏa mãn.
Đáp án D.