Cho bất phương trình ${{\log }_{\dfrac{37}{55}}}\dfrac{{{2}^{3}}-1}{{{2}^{3}}+1}+{{\log...

Phương pháp:
Rút gọn $\dfrac{{{x}^{3}}-1}{{{\left( x+1 \right)}^{3}}+1}=\dfrac{x-1}{x+2}.$ Từ đó rút gọn biểu thức trong log và giải bất phương trình.
Cách giải:
Ta có:
${{\log }_{\dfrac{37}{55}}}\dfrac{{{2}^{3}}-1}{{{2}^{3}}+1}+{{\log }_{\dfrac{37}{55}}}\dfrac{{{3}^{3}}-1}{{{3}^{3}}+1}+...+{{\log }_{\dfrac{37}{55}}}\dfrac{{{x}^{3}}-1}{{{x}^{3}}+1}<1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{\dfrac{37}{55}}}\left( \dfrac{{{2}^{3}}-1}{{{2}^{3}}+1}.\dfrac{{{3}^{3}}-1}{{{3}^{3}}+1}...\dfrac{{{x}^{3}}-1}{{{x}^{3}}+1} \right)<1\left( * \right)$
Ta có: $\dfrac{{{x}^{3}}-1}{{{\left( x+1 \right)}^{3}}+1}=\dfrac{\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}{\left( x+2 \right)\left[ {{\left( x+1 \right)}^{2}}-\left( x+1 \right)+1 \right]}=\dfrac{\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}{\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}=\dfrac{x-1}{x+2}.$
Khi đó
$\left( * \right)\Leftrightarrow {{\log }_{\dfrac{37}{55}}}\left( \dfrac{1}{{{2}^{3}}+1}.\dfrac{1}{4}.\dfrac{2}{5}.\dfrac{3}{6}.\dfrac{4}{7}...\dfrac{x-2}{x+1}.\left( {{x}^{3}}-1 \right) \right)<1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{\dfrac{37}{55}}}\left( \dfrac{{{x}^{3}}-1}{9}.\dfrac{1.2.3}{\left( x-1 \right)x\left( x+1 \right)} \right)<1$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{3}}-1}{9}.\dfrac{1.2.3}{\left( x-1 \right)x\left( x+1 \right)}>\dfrac{37}{55}$
$\Leftrightarrow \dfrac{2}{3}.\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{{{x}^{2}}+x}>\dfrac{37}{55}$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{{{x}^{2}}+x}>\dfrac{111}{110}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{x}^{2}}+x}>\dfrac{1}{110}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x<110$
$\Leftrightarrow -11<x<10$
Kết hợp điều kiện đề bài ta có $\left\{ \begin{aligned}
& 2<x<10 \\
& x\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow x\in \left\{ 3;4;5;...;9 \right\}.$
Vậy tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho bằng: $3+4+...+9=\dfrac{\left( 3+9 \right).7}{2}=42.$