Cho bất phương trình ${{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+2x+2...

$bpt\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+6x+5+m>0 \\
& {{\log }_{7}}\left[ 7\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right) \right]>{{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+6x+5+m \right) \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>-{{x}^{2}}-6x-5 \\
& 6{{x}^{2}}+8x+9>m \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>\underset{\left( 1; 3 \right)}{\mathop{\max }} f\left( x \right) \\
& m<\underset{\left( 1; 3 \right)}{\mathop{\min }} g\left( x \right) \\
\end{aligned} \right. $, với $ f\left( x \right)=-{{x}^{2}}-6x-5 $; $ g\left( x \right)=6{{x}^{2}}+8x+9$
Xét sự biến thiên của hai hàm số $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$
${f}'\left( x \right)=-2x-6<0, \forall x\in \left( 1; 3 \right)$ $\Rightarrow f\left( x \right)$ luôn nghịch biến trên khoảng $\left( 1; 3 \right)$
$\Rightarrow \underset{\left( 1; 3 \right)}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=-12$
${g}'\left( x \right)=12x+8>0, \forall x\in \left( 1; 3 \right)$ $\Rightarrow g\left( x \right)$ luôn đồng biến trên khoảng $\left( 1; 3 \right)$
$\Rightarrow \underset{\left( 1; 3 \right)}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)=23$
Khi đó $-12<m<23$
Mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -11; -10; ...; 22 \right\}$
Vậy có tất cả $34$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.